Базис

Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.
В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.

Некоторые свойства базиса :
1.Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.
2.Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.
3.Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).
4.Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису.

Разложение вектора по базису
Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости — двумерным векторным пространством, в пространстве — трехмерным векторным пространством.
Линейной комбинацией векторов 1.bmp с коэффициентами 2.bmp называется вектор 3.bmp4.bmp
Векторы d,f,g на рисунке являются линейными комбинациями векторов a,b,c: , , , .

Будем говорить, что вектор b раскладывается по векторам5.bmp если b является линейной комбинацией этих векторов.
Если6.bmp то любой вектор b, коллинеарный a, представим и причем единственным образом в виде 7.bmp , где — число.
Доказательство. В соответствии с определением умножения вектора на число 8.bmp если b имеет направление, противоположное a, и 10.bmp в противном случае.
Таким образом,
12.bmp
Полезные ресурсы:
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/linp3.php
Сайт о компьютерах, науке и технике http://cadmium.ru/content/view/717/45/

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *