Исследование функции и построение графика

Общая схема исследования функции

  • Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
  • Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
  • Найти точки пересечения с осями координат.

Нахождение точки пересечения графика с осью Oy. Для этого нужно вычислить значение f(0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox, для чего найти корни уравнения f(x) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удается решить лишь приближунно, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

  • Установить, является ли функция чётной или нечётной.
  • Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).
  • Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

.png

Замечание. Если на отрезке [a; b] имеются точки разрыва, то необходимо в них вычислить односторонние пределы, а затем их значения учесть в выборе наибольшего и наименьшего значений функции.
.png

  • Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

Это делается с помощью исследования знака второй производной f(x). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f(x) , мы решаем неравенство f(x)0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f(x)0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна). Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

  • Найти наклонные асимптоты функции.

Если область определения D(f) вклоючает в себя лучи вида (a;+) или (−;b), то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при x+ или x− соответственно, т.е. найти limxf(x). Наклонные асимптоты: y = kx + b, где k=lim x+x f(x) и b=lim x+(f(x)−x). Горизонтальны асимптоты: y = b, где lim x f(x)=b.

  • Построить график функции.

Примеры:
http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=maissl

Калькуляторы:

http://www.webmath.ru/web/prog31_1.php

Примеры:

http://www.mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
http://webmath.exponenta.ru/s/kiselev1/node69.htm
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika
http://www.cleverstudents.ru/functions_researching/function_researching.html
http://ege-ok.ru/2013/11/12/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika/


Полезные ресурсы:
Сайт, посвящённый ЕГЭ по математике http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=14
Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, высшей математике, физике, программированию, термеху, сопромату http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture11/lecture11.html
Сайт цифровых учебно-методических материалов ВГУЭС http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/page0031.asp
http://matica.org.ua/visshaya-matematika-kurs-lektsiy-a-s-grinberg-o-a-kastritsa-e-a-skuratovich/

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *