Кольца и поля

Кольцом external image image001.gif называется множество элементов, на котором определены две операции – сложение и умножение, и в external image image001.gif выполняются следующие аксиомы:

  1. R.1. Множество external image image001.gif является аддитивной абелевой группой.
  2. R.2. Для любых двух элементов external image image002.gif и external image image003.gif из external image image001.gif определено их произведение: external image image004.gif (замкнутость операции умножения).
  3. R.3. Для любых трех элементов external image image002.gif, external image image003.gif и external image image005.gif из external image image001.gif выполняется ассоциативный закон, т.е. external image image006.gif и external image image007.gif.
  4. R.4. Для любых трех элементов external image image002.gif, external image image003.gif и external image image005.gif из external image image001.gif выполняется дистрибутивный закон, т.е. справедливы равенства: external image image008.gif и external image image009.gif

Если операция умножения ассоциативна, т.е. для любых 1.pngcправедливо равенство (ab)c = a(bc), то кольцо называется ассоциативным.
Если операция умножения коммутативна, т.е. для любых 1.png справедливо равенство ab = ba , то кольцо называется коммутативным.
Если существует единица, т.е. такой элемент 1 , что для любого 1.png справедливо равенство 1а = а1 = а, то кольцо называется кольцом с единицей.

При обычных операциях сложения и умножения кольцом является:
1. Множество целых чисел.
2. Множество рациональных чисел.
3. Множество действительных чисел.
4. Множество, состоящее лишь из одного числа 0.
5. Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n.

Коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.
Подполем называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в поле.

Примеры полей.

  1. Рациональные числа.
  2. Комплексные числа.
  3. Вещественные числа.
  4. Множество комплексных чисел a + bi с любыми рациональными a, b.
  5. Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных.

Как всякое кольцо, поле является группой относительно операции сложения. Все элементы поля, не равные нулю, образуют группу относительно операции умножения.
Характеристика поля — наименьшее положительное целое n число такое, что сумма n копий единицы равна нулю: n * 1 = 0
Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению.

Полезные ресурсы:
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/kolc.php
Научная библиотека естественно-научных изданий http://www.sernam.ru/book_tec.php?id=77

Источники:
http://www.pm298.ru/
http://www.mathprofi.ru/
http://www.math4you.ru/

Create your own Playlist on LessonPaths!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *