Комплексные числа

Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики
и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.
Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i2= –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:
1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0i или a – 0i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .
2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.
3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a=c и b=d. В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + (b+ d )i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.
Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a –c ) + (b –d )i.
Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:
( ac – bd ) + (ad + bc )i . Это определение вытекает из двух требований:
1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
2) число i обладает основным свойством: i^2 = –1.
П р и м е р . ( a+ bi )( a – bi )= . Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di(делитель) — значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi. Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Возведение в степень. Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов. Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения (а+b)^2=a^2+2ab+b^2.
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: (a+bi)^2=a^2+2abi+b^2

Формы представления комплексных чисел. Существуют алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы представления комплексных чисел.
Алгебраическая форма: z = x + iy
Тригонометрическая форма: z = r (cosj + isinj)
Показательная форма: e=cos(f)+sin(f)

 числа.mtf

числа.mtf Download

 числа.docx

числа.docx Download

Полезные ресурсы:
Средняя математическая интернет-школа http://www.bymath.net/studyguide/angeo/sec/angeo2.htm
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/pryamaya.php
Подробный теоритический материал по данной теме http://mathserfer.com/theory/pyartli1/node64.html

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *