Линейные дифференциальные уравнения

Теория
Дифференциальное уравнение вида

линейное дифференциальное уравнение
линейное дифференциальное уравнение

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

  • Использование интегрирующего множителя;
  • Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя
Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

линейное дифференциальное уравнение в стандартной форме
линейное дифференциальное уравнение в стандартной форме

то интегрирующий множитель определяется формулой:

интегрирующий множитель
интегрирующий множитель

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде:

общее решение линейного дифференциального уравнения
общее решение линейного дифференциального уравнения

где C − произвольная постоянная.
Метод вариации постоянной
Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка
однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).

Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Оба метода приводят к одинаковому результату.

.Задачи..doc

Задачи.doc Download

Полезные ресурсы:
Большая советская энциклопедия http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/103736/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B5
Сайт самостоятельной студенческой работы http://webmath.exponenta.ru/s/c/function/content/chapter3/section5/paragraph3/theory.html

Источники:
http://www.pm298.ru/
http://www.mathprofi.ru/
http://www.math4you.ru/

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *