Множества и операции над ними

Множество — одно из ключевых понятий математики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества:

  • Георг Кантор: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)».
  • Бертран Расселл: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».

Принадлежность элемента a множеству M обозначается a ∈ M , а непринадлежность — a ∉ M .

Если множества А и B составлены из одних и тех же элементов, то говорят. что они равны: A = B . В противном случае множества A и B неравны (обозначается A ≠ B ).

Множество A называется подмножеством множества B (обозначается A ⊆ B ), если каждый элемент множества A является элементом множества B. В этом случае также говорят, что множество B содержит множество A или является надмножеством множества A (обозначается B ⊇ A). Множество А называется собственным подмножеством множества B (обозначается A ⊂ B ), если A ⊆ B и A ≠ B , т. е. в B есть элементы,не содержащиеся в A.

Множество, содержащее конечное число элементов называется конечным , в противном случае –бесконечным. Число элементов конечного множества M называется его мощностью.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (обозначается ∅ ). По определению ∅ = 0 . Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества.

На практике удобно использовать следующие способы задания множеств:• перечисление, например А = {–6, –4, –2, 0, 2, 4, 6};• порождающая процедура, например B = {x: x∈N,2 <x ≤13};• описание характеристических свойств, например C = {неположительные четные числа}.



Операции над множествами
К основным операциям над множествами относятся:

  • объединение;
  • пересечение;
  • разность;
  • дополнение.

Объединение множеств А и В (обозначается АUВ ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А, либо В. Таким образом, еϵАUВ тогда и только тогда, когда либо еϵА, либо еϵВ. На диаграмме Эйлера-Венна объединение выглядит следующим образом:

.jpg

Пересечение множеств А и В (обозначается А∩В ) есть множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множеству А и множеству В. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение выглядит следующим образом:

.jpg

Разность множеств А и В (обозначается А\В) есть множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В. На диаграмме Эйлера-Венна разность выглядит следующим образом:

.jpg

Дополнение множества А (обозначается Ā или ¬А) есть множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А. На диаграмме Эйлера-Венна дополнение выглядит следующим образом:

.jpg

Задача 1.

Вычислить указанное множество, если
U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}, A={1;2;3;4;7;9}, B={3;4;5;6;11;12;13}, C={2;3;4;7;8;12;13;14}, D={1;7;14}.
Пример
Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A={1, 2, 3, 4, 5}, B={2, 4, 6, 8},

C={1, 3, 5, 7}, D={1, 2, 4, 5, 7, 8}. Найти (D \ A)external image image848.gif(Bexternal image image850.gifC)external image image851.gif(C∸D).

Решение
D \ A ={7, 8},
Bexternal image image852.gifC={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
(D \ A)external image image853.gif(Bexternal image image854.gifC)={7, 8}external image image855.gif{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}={7, 8},
C ∸ D={2, 3, 4, 8},
(D \ A)external image image856.gif(Bexternal image image857.gifC)external image image858.gif(C∸D)={7, 8}external image image859.gif{2, 3, 4, 8}={2, 3, 4, 7, 8}.

Выполнить самостоятельно:
1. Вычислить указанное множество, если
U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}, A={1;2;3;4;7;9}, B={3;4;5;6;11;12;13}, C={2;3;4;7;8;12;13;14}, D={1;7;14}. http://abc.vvsu.ru/Books/Diskr_za/page0013.asp#xex28

2. Пусть U – множество студентов некоторого вуза. Определим его подмножества:
A – множество студентов, которые учатся на ” отлично“,
B — множество студентов, изучающих английский язык,
C – 9 множество студентов, имеющих спортивный разряд,
и D – множество студентов, состоящих в студенческом профкоме.
Выразить формулами над множествами A, B, C, D следующие множества студентов:
1) множество отличников, у которых есть спортивный разряд;
2) множество студентов, не являющихся отличниками и не состоящих в профкоме;
3) множество студентов, не состоящих в профкоме, но изучающих английский язык;
4) множество отличников-спортсменов, состоящих в профкоме;
5) множество студентов, которые состоят в профкоме, и или являются отличниками, или изучают английский язык;
6) множество изучающих английский язык студентов, не являющихся ни отличниками, ни спортсменами;
7) множество студентов-спортсменов, которые или не учатся на ” отлично“, или не состоят в профкоме;
8) множество изучающих английский язык отличников, состоящих в профкоме, но не спортсменов.
Представить графически.

Геометрически множества часто изображают с помощью диаграмм Эйлера – Венна, которые строятся следующим образом. Прямоугольной рамкой выделяется универсальное множество U, содержащее элементы всех рассматриваемых множеств. Внутри прямоугольника выделяют замкнутыми линиями (обычно кругами или овалами) фигуры, соответствующие всем рассматриваемым множествам. Для конечных множеств их элементы часто обозначаются точками. Подмножества, обладающие определенными свойствами, могут отмечаться штриховкой.

 Эйлера-Венна.jpg

evm.jpg


Задача 3.
Выразить принадлежность произвольного элемента множеству D через его принадлежность или непринадлежность множествам A, B, C, если D = A ∩ B \ C.
Решение. Рассмотрим произвольный элемент x ∈ U. Он может принадлежать или не принадлежать каждому из множеств A, B, C. Обозначим как 1 и 0 соответственно случаи его принадлежности или непринадлежности этим множествам. Все возможные варианты запишем в таблицу и построим соответствующие значения для множества D:
om.jpg

Ресурсы:
http://infoegehelp.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=243:diagreilervenn&catid=40:2011-12-18-14-30-56&Itemid=65
http://www.bymath.net/studyguide/sets/sec/sets2.htm


Полезные ресурсы:
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/opermn.php
Онлайн учебник: Теория и решение задач http://www.math4you.ru/theory/main-concept/set/
Портал естественных наук http://e-science.ru/math/theory/?t=555
Научная библиотека избранных естественно-научных изданий http://sernam.ru/lect_math2.php?id=3
Видеокурс О. П. Кузнецова «Дискретная математика» http://www.intuit.ru/department/ds/discretemath/
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/mnozh.php
Решение задач по высшей математике, теории вероятностей, статистике, экономике http://www.matburo.ru/ex_dm.php?p1=dmset

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *