Неопределенный и определенный интегралы

Неопределённый интеграл.

external image Image0.gifОпределение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной дляF(x), т.е. external image Image160.gif.
external image Image0.gifИз этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
external image Image0.gifПервообразная определена неоднозначно: для функции external image Image161.gif первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10: external image Image162.gif. Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим
external image Image0.gifСвойства первообразной.

  1. Если функция F(x) — первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C — произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во: external image Image163.gif).
  2. Если функция F(x) — некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C — постоянная на X функция.

external image Image0.gifИз этих свойств следует, что если F(x) — некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C — произвольная постоянная.
Неопределённый интеграл и его свойства.

external image Image0.gifОпределение. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом external image Image166.gif.
external image Image0.gifКак следует из изложенного выше, если F(x) — некоторая первообразная функции f(x), то external image Image167.gif, где C — произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx — подынтегральным выражением.
external image Image0.gifСвойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

  1. external image Image168.gif.
  2. external image Image169.gif (или external image Image170.gif).

Таблица неопределённых интегралов.

1 external image Image171.gif. 11 external image Image172.gif.
2 external image Image173.gif. 12 external image Image174.gif.
3 external image Image175.gif (external image Image176.gif). 13 external image Image177.gif.
4 external image Image178.gif. 14 external image Image179.gif.
5 external image Image180.gif; external image Image181.gif. 15 external image Image182.gif.
6 external image Image183.gif. 16 external image Image184.gif
7 external image Image185.gif. 17 external image Image186.gif.
8 external image Image187.gif. 18 external image Image188.gif.
9 external image Image189.gif. 19 external image Image190.gif.
10 external image Image191.gif. 20 external image Image192.gif; external image Image193.gif.

В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a>0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4: если x > 0, то external image Image194.gif; если x < 0, то external image Image195.gif.
Простейшие правила интегрирования.

    1. external image Image202.gif (external image Image203.gif)
    2. external image Image204.gif

Определённый интеграл

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 ,xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим external image Image524.gif: external image Image525.gif; максимальную из длин отрезков обозначим external image Image526.gif. На каждом из отрезков [xi-1 , xi] выберем произвольную точку external image Image516.gif и составим сумму external image Image528.gif.
Сумма external image Image529.gifназывается интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм external image Image530.gif при external image Image531.gif, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b]на части [xi-1 , xi], ни от выбора точек external image Image516.gif, то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается external image Image533.gif.
Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b — соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так: external image Image0.gifexternal image Image534.gif.
В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:
Если b=a, то external image Image535.gif; еслиb<a, то external image Image536.gif.
Свойства определённого интеграла.
1. Линейность. Если функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и
external image Image0.gifexternal image Image545.gif.
2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то external image Image0.gifexternal image Image550.gif.
При формулировании следующих свойств предполагаем, что b > a.
external image Image0.gif3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то external image Image559.gif.
Вычисление определённого интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) — некоторая первообразная функции external image Image593.gif, то external image Image594.gif.
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница:
external image Image602.gif.
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) — непрерывно дифференцируемые функции, то external image Image603.gif
Пример:external image Image608.gif.

 задачи.docx

задачи.docx Download

Полезные ресурсы:
Высшая математика для заочников и не только http://www.mathprofi.ru/opredelennye_integraly_primery_reshenij.html
Варианты курсовых заданий по неопределённому и определённому интегралу РГТУ в электронном виде http://window.edu.ru/resource/836/76836/files/vyskntg2002.pdf

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *