Несобственный интеграл

Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.
Пусть f (x) определена при xa и интегрируема на отрезке [a; ξ], где ξ ≥ a. Если существует конечный предел external image 63230175725100-1.gif то говорят, что функция f интегрируема в несобственном смысле на промежутке [a; +∞), а несобственный интегралexternal image 63230175725110-2.gif сходится:

external image 63230175725120-3.gif

Если external image 63230175725140-4.gif не имеет конечного предела приξ → +∞, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл external image 63230175725180-5.gif
Так, интеграл external image 63230175725190-6.gif сходится и равен external image 63230175725210-7.gif Этот ответ можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX.
Пусть функция f (x) определена на конечном промежутке [a; b) и интегрируема на отрезке [a; ξ] при любом external image 63230175725261-8.gif Если существует конечный предел external image 63230175725261-9.gif то говорят, что несобственный интеграл от функции f (x) на промежутке [a; b) сходится:

external image 63230175725281-10.gif

Если external image 63230175725301-11.gif не имеет конечного предела при ξ → b, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл для функции, определенной на (a; b].
Если функция f определена на отрезке [a; b] за исключением точки external image 63230175725331-12.gif и интегрируема на отрезках [a; ξ] и [η; b] при любых ξ и η таких, что a ≤ ξ < c < η ≤ b, то несобственный интеграл от функции f на промежутке [a; b] обозначается external image 63230175725391-13.gif и равен

external image 63230175725401-14.gif

В дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что функция f определена на [a; b), где a – конечная точка, b – конечная точка либо +∞, и функция f интегрируема на [a; ξ] при любом external image 63230175725441-15.gif В этих предположениях несобственные интегралы обладают следующими свойствами:

  • линейность несобственного интеграла:
external image 63230175725451-16.gif
external image 63230175725471-17.gif
  • формула Ньютона – Лейбница: если существует конечный предел external image 63230175725481-18.gif то
external image 63230175725501-19.gif

Полезные ресурсы:
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/nesobstv4.php
Сайт, посвящённый математике http://www.mathematics.ru/courses/function/content/chapter3/section4/paragraph6/theory.html

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *