Однородные дифференциальные уравнения

Теория:
Определение однородного дифференциального уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка

дифференциальное уравнение первого порядка
дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению

условие однородности уравнения
условие однородности уравнения

для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y:

однородная функция нулевого порядка
однородная функция нулевого порядка

Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде

однородное уравнение
однородное уравнение

или через дифференциалы:

однородное уравнение в дифференциалах
однородное уравнение в дифференциалах

где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка.Определение однородной функции. Функция P(x,y) называется однородной функцией порядка n, если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение:

однородная функция порядка n
однородная функция порядка n

Решение однородных дифференциальных уравнений. Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

external image 2fodi7.gif

преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:

external image 2fodi8.gif

Практические задания:

.Однородные дифференциальные уравнения.doc

Однородные дифференциальные уравнения.doc Download

Полезные ресурсы:
Электронный вариант типовых расчётов дифференциальных уравнений кафедры «Высшая математика» СГУПС http://vm.stu.ru/Task/DiffEquation(solve)%20-%2002.pdf
Образовательный портал Брянской ГСХА http://www.bgsha.com/ru/learning/course/lesson.php?COURSE_ID=5&ID=548


Источники:
Математический анализ. Однородные дифференциальные уравнения http://www.math24.ru/homogeneous-equations.html

Create your own Playlist on LessonPaths!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *