Операции

Операцией называют функцию, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому-же множеству. Функцией одного аргумента φ(x)=y, имеющая тип φ: M→M, называется унарной операцией.
Примеры:
· элементарные функции ех, log x, sin x и другие.
· операция над множествами — дополнения ;
· отображения типа А → А, такие как преобразования, перестановка
· оперпции над множествами: дополнения , обратное отношение R-1, составное отношение R(2)=R ○ R, транзитивное Rº и рефлексивное R* замыкания и др.

Функция двух аргументов φ(x,y)=z имеющая тип φ:MxM→M, называется бинарной операцией. примеры бинарных операций:
· арифметические операции:сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень;
· операции над множествами: пересечение, объединение, разность;
· операции композиции функций, отображение, отношений и др. Если над элементами a,b?M выполяется операция φ, дающая результат z?M, то это записывается часто как a φ b=z

Свойства бинарных операций:
1) ассоциативность (a φ b) φ c = a φ (b φ c)
(арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств, композиция отображений — ассоциативные операции).
2) коммутативность a φ b = b φ a
(сложение и умножение, пересечение и объединение- коммутативны; вычитание и деление, разность множеств, композиция перестановок и преобразований типа А → А конечного множества- некоммутативны)
3) дистрибутивность слева относительно операции ╨, если для любых a, b, c
a φ (b ╨ c) = (a φ b) ╨ (a φ c)

и дистрибутивна справа относительно операции ╨, если для любых a, b, c
(a ╨ b) φ c = (a φ c) ╨ (b φ c)

(операции умножения и деления дистрибутивны относительно операций сложения и вычетания слева и справа, но не наоборот; операции объединения и пересечения множеств дистрибутивны относительно друг друга слева и справа).

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на M называют умноже́нием, то её результат для элементов external image bad66e30b7ec20c08696ec22d46ded1e.png называют их произведе́нием и обозначают external image a793d368372e7d8705c96ea1652d917e.png или xy. В этом случае нейтральный элемент external image ce0a4af9724ad318f7bac1843ba16df5.png, то есть элемент удовлетворяющий равенствам
external image 8e799b37a34be441d4b563750dd892ce.png
называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов external image bad66e30b7ec20c08696ec22d46ded1e.png называют су́ммой и обозначают x + y. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут
external image 1db31beb25c221d13102023dfba88d9c.png

Полезные ресурсы:
Сайт, посвященный психологике http://psi-logic.narod.ru/bool/bool4.htm
Сайт, где можно найти материалы по математике ru.math.wikia.com
Страничка на википедии с Бинарными операциями Wikipedia

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *