Отображения. Преобразования

Вернемся к функциональному соответствию (то есть к функции).
Если это соответствие к тому же еще и  всюду-определено,  то  оно
называется ОТОБРАЖЕНИЕМ.
     Если  отобразить  множество студентов в группе, на множество
фамилий в группе, То это скорее всего будет ОТОБРАЖЕНИЕ множества
студентов    НА   множество   фамилий.   То   есть   сюр'ективное
соответствие. Если же отобразить множество  студентов  группы  на
множество  фамилий  студентов университета, то говорят, что имеет
место ОТОБРАЖЕНИЕ множества студентов  В  множество  фамилий.  То
есть в области значений будут и "незадействованные фамилии".
     Мы подошли к одному из самых фундаментальных, может потому и
неблагозвучных, понятий и теории множеств, и  математики  вообще,
мы подошли к ГОМОМОРФИЗМУ.
     Пример. Отобразим множество точек участка земной поверхности
на множество точек карты. Сейчас оставим в стороне то, что  некое
множество  точек  земной  поверхности отобразится в одну точку на
карте, в таких случаях неин'ективность - обычное  дело.  Для  нас
существенно то что, чем выше точки земной поверхности над уровнем
моря, тем в более коричневые точки карты они отображаются.
     Таким   образом,   мы   рассматриваем  не  просто  множества
элементов. В  первом  случае  здесь  между  элементами  множества
существует отношение "выше", а во втором - "коричневее". Где выше
в первом - там коричневее во втором.  "Выше" и "коричневее" - это
отношения заданные на своих множествах.
     Отображение  земной  поверхности  НА  карту не просто ставит
всем элементам одного множества элементы другого. Но, кроме того,
если   между   двумя   элементами  первого  множества  существует
отношение "выше", то между их образами во втором множестве  имеет
место  отношение  "коричневее".  Естествено,  если  точки  земной
поверхности лежат на одной высоте, то  они  отобразятся  в  точки
карты с одинаковой коричневостью.
     Такое  отображение  называется ГОМОМОРФНЫМ. Или говорят, что
между этими множествами существует ГОМОМОРФИЗМ.
     Вернемся  к  тому,  что  слово  не  очнь  благозвучное, а по
американским меркам и громоздкое.  Поэтому  последнее  время  все
чаше используется более короткий (усеченный) термин - МОРФИЗМ.
     Морфизмы играют в математике исключительную роль. Коль скоро
математику не без оснований часто отождествляют с  математическим
моделированием,  то  приведем  афоризм из одной умной философской
книжки: ХОРОШАЯ МОДЕЛЬ ВСЕГДА ГОМОМОРФНА.

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

Полезные ресурсы:
http://linux.nevod.ru/2001/dm/DM-04.php
Сайт НГУ, посвящённый математике http://www.stat-mat.com/?p=57
http://crypto.hut2.ru/otobr.html — Исканцев Н.В., 2012 .Теория множеств: понятие и виды отображений
http://ru.discrete-mathematics.org/fall2013/1/logic/lecture-2-functions.pdf
http://www.mami.ru/pages/kaf/vm/discr_math.pdf — учебник по дискретной математике

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *