Предел функции

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 — 1727), а также математиками 18 века — швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 — 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 — 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 — 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 — 1857) в 1821 году.

Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

external image 126333137d5dc12d573e9963f64be160.png external image 26ea0473a6b118c9e3bad5b0337f78e2.png external image 8697cf36b40c1eabe7e786f2e7965888.png external image a1bda8db240323299bf26fd1ed9bac13.png external image 792fcc8c60fff72dad7929653885d002.png external image ba6c6c6c412ea1d062f4467356cc4013.png external image fdcd6954d6263fa2f89e6c9ff214160f.png

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Раскрывать неопределенности позволяет:

  • упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
  • использование замечательных пределов;
  • применение правила Лопиталя;
  • использование таблицы эквивалентных бесконечно малых.

Неопределённость вида external image lim40.gif
Пример 1. Раскрыть неопределённость external image lim40.gif и найти предел external image lim41.gif.
Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на external image lim42.gif:
external image lim43.gif.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или «супермалому числу».
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен external image lim44.gif.
Пример 2. Раскрыть неопределённость external image lim40.gif и найти предел external image lim45.gif.
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:
external image lim46.gif.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем «икс» под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо «икса».
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Неопределённость вида external image lim39.gif
Пример 3. Раскрыть неопределённость external image lim39.gif и найти предел external image lim47.gif.
Решение. В числителе — разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:
external image lim48.gif.
В знаменателе — квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):
external image lim49.gif
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
external image lim50.gif
Пример 4. Раскрыть неопределённость external image lim39.gif и найти предел
external image tasks_lim_clip_image038.gif
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
external image tasks_lim_clip_image040.gif
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:
external image tasks_lim_clip_image044.gif
Пример 5. Раскрыть неопределённость external image lim39.gif и найти предел
external image tasks_lim_clip_image054.gif
Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

external image tasks_lim_clip_image058.gif


Примеры решения задач на данную тему:
http://www.mathprofi.ru/predely_primery_reshenii.html
http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=mapred
http://function-x.ru/lim1.html


Калькуляторы:
http://www.webmath.ru/web/prog58_1.php
http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/predel/
http://matematikam.ru/calculate-online/predel-limit.php
http://www.mathforyou.net/Limit.html
http://www.matcabi.net/limit.php
http://www.reshim.su/blog/1-0-5


Полезные ресурсы:

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_7_0.php
Сайт, посвящённый математике http://mathematics.ru/courses/function/content/chapter1/section3/paragraph6/theory.html
Высшая математика для заочников и не только http://www.mathprofi.ru/predely_primery_reshenii.html

Create your own Playlist on LessonPaths!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *