Производная и дифференциал функции

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Производная обозначается символами y ‘ , f ‘ (xo),image006.gif,image008.gif.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке хo; физический смысл — в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t0.

Таблица производных элементарных функций

Таблица производных
Таблица производных

 

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа.
Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Правила дифференцирования общих функций

external image diff_rules.gif


Калькулятор для решения производных


Задание. Найти производную функции external image formules_1650.png

Решение. Используем правила дифференцирования и таблицу производных:
external image formules_1651.png
external image formules_1652.png
external image formules_1653.png
external image formules_1654.png
Ответ. external image formules_1656.png


Задание. Найти производную сложной функции external image formules_1658.png

Решение. Используем правила дифференцирования элементарных и сложных функций:
external image formules_1659.png
external image formules_1660.png
external image formules_1661.png
external image formules_1662.png
Ответ. external image formules_1663.png

Производная высшего порядка
Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде 11der1.gif

Аналогично, если f » существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f: 11der3.gif
Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как 11der4.gif

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы: 11der5.gif
В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид 11der6.gif


Задание. Найти производную второго порядка функции external image primeri_1067.png
Решение. Согласно определению, вторая производная — это первая производная от первой производной, то есть
external image primeri_1068.png
Поэтому сначала найдем производную первого порядка от заданной функции согласно правилам дифференцирования и используя таблицу производных:
external image primeri_1069.png
external image primeri_1070.png
Теперь найдем производную от производной первого порядка. Это будет искомая производная второго порядка:
external image primeri_1071.png
external image primeri_1072.png
Ответ. external image primeri_1073.png

 


Полезные ресурсы:

Сайт клуб профессиональных строителей baurum http://www.baurum.ru/alldays/?cat=differential-calculation&id=3775
Портал знаний: информация подана ясно и доступно http://www.znannya.org/?view=proizvodnue-duferen-dvox-perem

Определение производной, правила дифференцирования, таблица производных, производные высшего порядка

http://www.mathelp.spb.ru/book1/proizvodnaya.html
Производные высшего порядка с примерами решения с доступным объяснением
http://www.math24.ru/higher-order-derivatives.html
http://www.mathelp.spb.ru/book1/proizvodnaya.htm Определение производной

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *