Прямая

Теория:

Прямая на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядкаАх + Ву + С = 0,причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью ОхУравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

.png

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
external image Eqn002.gif
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

external image Eqn003.gif

если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .Дробь external image Eqn004.gif= k называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

external image Eqn006.gif

и обозначить external image Eqn007.gif, то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.Определение. Каждый ненулевой вектор external image Eqn008.gif( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: external image Eqn010.gif илиexternal image Eqn011.gif, где

external image Eqn012.gif

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число external image Eqn014.gif, которое называется нормирующем множителем , то получимxcosφ + ysinφ — p = 0 –нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ — угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Угол между прямыми на плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться какexternal image Eqn022.gif.Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

external image Eqn023.gif

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется какexternal image Eqn024.gif.Доказательство. Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :external image Eqn025.gif (1)Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

external image Eqn026.gif

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,то, решая, получим:

external image Eqn027.gif

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

external image Eqn028.gif

Теорема доказана.


Практические задания:

.doc


Полезные ресурсы:
Средняя математическая интернет-школа http://www.bymath.net/studyguide/angeo/sec/angeo2.htm
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/pryamaya.php


Источники информации:
Средняя математическая интернет-школа http://www.bymath.net/studyguide/angeo/sec/angeo2.htm
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/pryamaya.php
Высшая математика http://www.mathelp.spb.ru/book1/line_on_plane.htm

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *