Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размером m х n.

Выберем в ней произвольно s разных строк и s столбцов, причем 1 <= s <= min (m, n), где min (m,n) — меньшее из чисел m и n.
Элементы, попавшие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу порядка s.
Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы А. Например, если дана матрица

external image 5A.jpg

то, взяв первую и третью строку, третий и пятый столбец, получим матрицу второго порядка и ее определитель

external image 6A.jpg

Этот определитель является минором второго порядка для исходной матрицы. Аналогично можно получить остальные миноры второго порядка и третьего порядка. Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю.

Ранг матрицы — наибольший из порядков ее миноров не равных нулю. Ранг матрицы А обозначают одним из символов: rang А, r. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг ее считается равным нулю.

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения:

  1. Ранг матрицы определяется целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел m, n.
  2. Ранг матрицы равен нулю, если матрица нулевая.
  3. Для квадратной матрицы n-го порядка r = п тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

При нахождении ранга матрицы можно пользоваться свойствами миноров. Если все миноры определенного порядка матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю. Таким образом, если среди миноров порядка k данной матрицы есть отличные от нуля, а всё миноры порядка k + 1 равны нулю или не существуют, то r= k.

Свойства ранга матрицы:
1. Ранг матрицы, полученной транспонированием, равен рангу исходной матрицы.
2. Ранг матрицы останется неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квазитреугольной форме. Ранг квазитреугольной матрицы равен r, поскольку ее минор с главной диагональю а11а22,…,аnn равен произведению не равным нулю а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

К элементарным преобразованиям относятся:
— перестановка двух параллельных рядов матрицы;
— умножение всех элементов какого-либо ряда на число отличное от нуля;
— прибавление ко всем элементам ряда соответствующих элементов параллельного ряда умноженных на одно и то же число.
Далее подсчитываем количество нулевых строк в матрице и отнимаем от общего числа строк. Полученное значение и будет рангом матрицы.
Для примера произведем расчет для матрицы 3×3
.bmp
На первом этапе отнимем первую строку от нижних, при этом добъемся что бы в первом столбце элементы начиная со второго стали равными нулю. Для этого умножим на -0.022 и 0.209. В итоге получим ниже приведенную матрицу.
2.bmp
Аналогичные действия проделаем со второй строкой. Умножим на -7.773

3.bmp

Так как количество нулевых строк равно нулю, а общее количество строк равно трем, то ранг матрицы равен:
rang|A|=3-0=3

примеры решений задач по нахождению ранга матрицы:

 по рангу матрицы.docx

по рангу матрицы.docx Download

Информация взята с сайтов:
http://www.mathelp.spb.ru/book1/rank.htm
http://univer-nn.ru/articles/rang.php

Полезные ресурсы:
Единая Образовательно-Научная Информационная Среда для индивидуальных и коллективных пользователей http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/La/06/07/t.htm
Решение контрольных, курсовых, дипломных работ http://univer-nn.ru/articles/rang.php

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *