Законы распределения непрерывной случайной величины

Распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение. Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:
external image Eqn001.png (29)

Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:
external image Eqn002.png (30)

Ris4_mat_stat.gif
Ris4_mat_stat.gif

Рис. 4. График плотности равномерного распределения

Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда external image Eqn003.png, то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале external image Eqn004.png


Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, —распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).


Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Экспоненциальное распределение играет важную роль в задачах телекоммуникации, так как позволяет моделировать интервалы времени между наступлением событий.
Из экспоненциальных величин строятся другие важные величины, например, случайные величины, имеющие распределение Эрланга.
Мы говорим, что случайная величина external image image006.gif имеет экспоненциальное (показательное)распределение, если
external image image002.gif (0)
Пусть external image image006.gif – время ожидания события, тогда из формулы (0) следует, что вероятность того, что это событие наступит раньше x равна external image image2.gif . Этот удобный формализм позволяет описывать моменты возникновения случайных событий.
Параметр λ оценивается на основе реальных данных.
Плотность экспоненциального распределения имеет вид
external image image004.gif, (1)
где λ>0 —положительная постоянная, называемая параметром экспоненциального распределения.
Заметьте, экспоненциальное распределение сосредоточено на положительной полуоси.
Экспоненциальная случайная величина принимает положительные значения.
Среднее значение external image image006.gif равно external image image008.gif

external image image010.gif

Дисперсия external image image006.gif равна external image image012.gif

external image image014.gif

Из формулы (0) следует:

external image image016.gif

Иными словами, вероятность того, что следующее событие наступит через время больше external image image018.gif, равнаexternal image image020.gif

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *