Геометрия — популярное

Задача 1

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки часов в 19:00? Ответ дайте в градусах.

Алгоритм:

1. Разбить циферблат:

   • Полный круг = 360°

   • Между соседними часами = 360° / 12 = 30°

   • Между соседними минутами = 360° / 60 = 6°

2. Определить положение стрелок:

   • Часовая стрелка:  за каждый час смещается на 30° от отметки «12». В 19:00 часовая стрелка ровно на цифре 7.

     Отсчёт от 12:  7 часов × 30° = 210°  от верхней точки.

   • Минутная стрелка:  в 00 минут — на цифре 12, то есть 0° от верхней точки.

3. Найти разницу углов:

   • Угол часовой = 210° (от 12 по часовой)

   • Угол минутной = 0°

   • Разница:  |210° − 0°| = 210°

4. Выбрать меньший угол между стрелками (т.к. угол между стрелками ≤ 180°):
   Если разность > 180°, вычесть из 360°.
   210° > 180° ⇒ меньший угол = 360° − 210° = 150°

Решение:

• Часовая: 7 × 30 = 210°

• Минутная: 0°

• Разность = 210°

• 210° > 180° ⇒ угол = 360 − 210 = 150°

Ответ: 150°

От 12 до 7 — 7 делений циферблата (210° по часовой). Минутная на 12, разница 210°, но меньший путь через 11, 10... — 150°.

Задача 2

В колесе углы между соседними спицами равны. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 30°?

Дано:
Угол между соседними спицами = 30°.
Найти количество спиц.

Решение:

1. Полный круг = 360°.

2. Полный круг делится на равные углы.

3. Количество спиц = полный круг / угол между соседними спицами:
   n=360°​/30°
   n=12

Ответ: 12 спиц

Рассмотрим тип задач с применением теоремы Пифагора.

"Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах."

Мы имеем:

• Лестница  длиной 13 м — это  гипотенуза  прямоугольного треугольника.

• Расстояние от нижнего конца лестницы до стены  5 м — это  один катет  (прилегающий к земле).

• Высота, на которой лестница касается стены  — это  второй катет  (противолежащий к стене), который нам нужно найти.

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник, где

• Гипотенуза c=13

• Катет a =5 м

• Катет b=? м (высота)

Земля и стена перпендикулярны друг другу.

Применяем теорему Пифагора

Формула: a² + b² = c²

Подставляем известные значения:
5² + b² = 13²

Вычисляем

25 + b² = 169

b² = 169 − 25

b² = 144

b = √144

b = 12 (так как длина положительна)

Ответ: 12 метров

Задача 2

На расстоянии 12 метров от дома вкопали столб высотой 7 метров. От вершины столба к стене дома протянули кабель и закрепили его на высоте 2 метра от земли. Найдите длину кабеля в метрах

Дано:
Расстояние от столба до дома: 12 м
Высота столба: 7 м
Высота крепления на доме: 2 м
Найти длину кабеля d.

Вертикальный катет: 7 − 2 = 5 м
Горизонтальный катет: 12 м

По теореме Пифагора:
d² = 12² + 5²
d² = 144 + 25
d² = 169
d = √169
d = 13

Ответ: 13 м

Алгоритм для подобных задач

1. Определить прямоугольный треугольник  в задаче.

2. Гипотенуза (c)  — обычно лестница, трос, наклонная плоскость.

3. Катеты (a и b)  — горизонтальное и вертикальное расстояния.

4. Записать: a² + b² = c²

5. Подставить известные числа , найти неизвестное.

6. Дать ответ с единицами измерения.

Дополнительно:

Задача

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,55 м, а наибольшая высота h2 равна 2,55 м. Ответ дайте в метрах.

Условие:
Перила — наклонная линия (боковая сторона трапеции).
Нижняя высота h1 = 1,55 м.
Верхняя высота h2 = 2,55 м.
Столб стоит вертикально посередине перил по длине.
Найти высоту столба l.

Алгоритм решения:

1. Вспомнить формулу средней линии трапеции: Средняя линия = (основание1 + основание2) / 2.

2. Подставить данные: l = (h1 + h2) / 2.

3. Вычислить  и дать ответ в метрах.

Решение:

h1 = 1,55 м
h2 = 2,55 м
l = (h1 + h2) / 2
l = (1,55 + 2,55) / 2
l = 4,10 / 2
l = 2,05

Ответ: 2,05 м

Задача 1

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3,6 м. Ответ дайте в метрах.

Дано:

Горка — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Вертикальная высота h = 3,6 м. Столб стоит вертикально посередине горки.
Найти высоту столба l.

1 способ. Подобие треугольников

Треугольник ABC: AC вертикаль = h, AB — горка.
Точка E — середина AB, DE — столб вертикально, D — на земле.
Треугольник DBE подобен треугольнику ABC:
• Угол B общий
• Угол DEB = угол ACB = 90°, потому что DE параллельно AC.

Коэффициент подобия

Так как E — середина AB, то BE = (1/2) AB.
В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно:
l / h = BE / AB = (1/2) AB / AB = 1/2.

Вычисление

l / 3,6 = 1/2
l = 3,6 * (1/2)
l = 1,8

Ответ: 1,8 м

2 способ. Формула средней линии

Средняя линия = половина параллельной стороны.
DE = 1/2 * AC

l = 1/2 h
l = 1/2 3,6

l = 1,8

Ответ: 1,8 м

Теорема Штейнера — Лемуса утверждает, что если в треугольнике две биссектрисы равны по длине, то этот треугольник равнобедренный.

Теорема была сформулирована К. Л. Лемусом и впоследствии доказана Якобом Штейнером. Доказательство появилось в работах этих немецких геометров в XIX веке. В 1840 году Лемус упомянул теорему в письме К. Штурму, попросив найти чисто геометрическое доказательство. Штурм передал запрос другим математикам, и Штейнер был одним из первых, кто предложил решение. В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много работ, среди которых обнаружились интересные и ранее неизвестные подходы.

https://www.itmathrepetitor.ru/spravochnik-olimpiadnika-planimetri-2/

Дополнительно

Треугольник со сторонами 5, 6, 7 — остроугольный.

Это утверждение — верное ✅.

Доказать, что треугольник со сторонами 5, 6, 7 — остроугольный, можно несколькими способами.

1. Правило (следствие теоремы Пифагора):

2. Проверка через косинус наибольшего угла

Определите вид треугольников:

• 5, 12, 13

• 6, 7, 9

• 8, 15, 17

• 4, 5, 7

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. Это утверждение — верное.

Неравенство треугольника:

Для любого треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

В любом треугольнике самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других.

Здесь самая длинная сторона = 4.
Сумма двух других = 1+2=3
4<3? Нет. Значит, треугольника нет.

Полная проверка

Существует треугольник или нет:

• 3, 4, 5

• 2, 3, 6

• 5, 7, 12

• 2, 2, 3

Дополнительно:

Неравенство треугольника

Автор: Александра Пуляевская

Окружности с радиусами 5 и 7, расстояние между центрами 3 → нет общих точек. Это утверждение — неверное.

Некоторые думают:
«Если расстояние между центрами меньше меньшего радиуса, то одна окружность целиком внутри другой и общих точек нет».
Правильное рассуждение:

1. d<r → центр малой внутри большой

2. Но d>R−r → малая не целиком внутри большой, а частично выходит наружу → пересечение.

Условия взаимного расположения двух окружностей

Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности не пересекаются. Это утверждение — верное.

Для тренировки:

• R=8,r=3,d=4

• R=6,r=2,d=8

• R=10,r=4,d=6