Геометрия — популярное

Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра до прямой равно 2, то прямая и окружность пересекаются. Это утверждение — верное

Условия взаимного расположения прямой и окружности

Применяем к нашему случаю

R=3,d=2

2<3⇒d<R

Значит, прямая пересекает окружность в двух точках.

Для тренировки:

• R=4,d=5

• R=2.5,d=2.5

• R=6,d=4

Способ 1

Нужно найти угол ∠EFG, то есть угол с вершиной в точке F, между сторонами FE и FG.

Значит, каждый внутренний угол восьмиугольника равен 135∘. Угол EFG — это внутренний угол при вершине F (потому что FE и FG — стороны восьмиугольника).Поэтому ∠EFG=135∘.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центральный угол между соседними вершинами: 360:8=45.

Угол EFG опирается на большую дугу EG и является вписанным, поэтому равен половине угла EOG : 6*45:2=135.

Задача 2

Способ 1

I признак четырехугольника, вписанного в окружность:

Четыре точки лежат на одной окружности, если два противоположных угла в сумме дают 180∘ .

Тогда угол HEJ равен 180-144=36.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центральный угол между соседними вершинами: 360:10=36.

Угол HEJ опирается на ту же дугу что и центральный угол HOJ (36*2) и является вписанным, поэтому равен половине угла HOJ : 36*2:2=36.

Задача 3

Ответ: 147

Пример 1

В угол C величиной 83° вписана окружность: как найти угол AOB

Решение

Можно заметить, что углы ∠C и ∠AOB в данном четырехугольнике являются противоположными, причем два других угла прямые. Следовательно, их сумма равна 180: ∠AOB=180−83=97.

Пример 2

Ответ: 180-72=108, (180-108):2=36

Пример 3

Ответ: 90-66=24

Пример 4

Ответ: 90-57=33

Пример 5

Ответ: 15

Пример 6

Ответ: 18

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то ACB=(AB-DE):2 . DE=102-33*2=36 . Тогда DAE, как вписанный и опирающийся на дугу , равен ее половине, то есть 36:2=18 .

Пример 7

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга AB равна 32*2=64.
.

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Окружность. Основные теоремы

Треугольники ВОС и AOD равнобедренные. Тогда угол АСВ=(180-44):2=136:2=68

Ответ: 148

Ответ: 56

Ответ: 32

Дополнительно

Через точку 𝐴, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке 𝐾. Другая прямая пересекает окружность в точках 𝐵 и 𝐶, причём 𝐴𝐵 = 2, 𝐵𝐶 = 6. Найдите 𝐴𝐾.

Запомни:

Дополнительно

1. okruzhnost.pdf

2. matem-teoriya-okruzhnost-krug.pdf

Изучайте математические формулы с помощью интерактивных карточек. Выберите тему и количество карточек.

Как отвечать:

1. Смотрите на лицевую сторону — читаете вопрос (например, "Площадь треугольника")

2. Вспоминаете формулу

3. Кликаете на карточку — она переворачивается и показывает правильный ответ

Дополнительные удобства:

• В шпаргалке снизу тоже есть названия формул

• Можно кликнуть на формулу в шпаргалке — она найдёт и покажет соответствующую карточку

• Поиск работает по названиям (пишите "пифагора" или "объём")