Текстовые задачи — популярное

Задача 1

Требуется приготовить 100 г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть нужно взять x г 25%-го раствора нашатырного спирта.

Тогда воды потребуется 100−x г (чистая вода, 0% нашатыря).

Шаг 2. Баланс нашатырного спирта

В 25%-м растворе масса чистого нашатыря: 0.25x

В воде нашатыря нет.

В итоговом 10%-м растворе массой 100 г чистого нашатыря: 0.10×100=10 г

Уравнение баланса:

0.25x=10

Шаг 3. Решаем

x=10/0.25=40 г

Воды:

100−40=60 г

Ответ: 40​ г 25%-го раствора и 60​ г воды.

Дополнительно:

Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

Шаг 1. Обозначения

• AB=420 км.

• Автомобиль выехал из A в B (обозначим его скорость va​ км/ч).

• Мотоциклист выехал из A в B через 1 час после автомобиля, скорость vm=80 км/ч.

• Мотоциклист догнал автомобиль в городе C (находится между A и B, расстояние AC=x км).

• В момент встречи в C мотоциклист разворачивается  и едет обратно в A.

• Когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль в этот момент  прибыл в B.

Время движения отсчитываем от момента старта автомобиля.

Шаг 2. Определим время до встречи в C

Пусть t1​ — время от старта автомобиля до встречи в C.

Автомобиль: проехал x км за t1​ часов: x=va⋅t1.(1)

Мотоциклист выехал на 1 час позже, поэтому его время в пути до встречи = t1−1 часов. Он проехал те же x км со скоростью 80 км/ч: x=80⋅(t1−1).(2)

Из (1) и (2): va⋅t1=80(t1−1).(3)

Шаг 3. Движение после встречи в C

После встречи:

• Мотоциклист разворачивается и едет обратно из C в A (расстояние x) со скоростью 80 км/ч. Время на обратную дорогу = t2=x/80​ часов.

• Автомобиль продолжает путь из C в  B (расстояние 420−x) со скоростью va​. Время на этот отрезок = t3=(420−x)/v​.

Условие задачи: когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль прибыл в B. То есть время движения после встречи у них одинаковое: t2=t3

x/80=(420−x)/va.(4)

Шаг 7. Ответ

Расстояние от A до C равно 240 км.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?

1. Понимание условия

У нас есть круговая трасса длиной 22 км. Два мотоциклиста стартуют одновременно из двух диаметрально противоположных точек трассы, значит расстояние между ними по трассе — половина длины круга:

22/2=11 км.

Они едут в одном направлении. Скорость одного на 20 км/ч больше скорости другого. Через какое время они поравняются в первый раз?

Обозначим:

• v км/ч — скорость медленного,

• v+20 км/ч — скорость быстрого.

2. Относительная скорость

При движении в одну сторону скорость сближения (догоняния) равна разности их скоростей:

vотн=(v+20)−v=20 км/ч.

3. Какое расстояние нужно сократить

В момент старта расстояние между ними 11 км (половина круга).

Так как они едут в одну сторону, чтобы первый раз поравняться, быстрому нужно догнать медленного. Это значит сократить расстояние 11 км.

Если бы они ехали навстречу друг другу, тогда расстояние между ними сокращалось бы со скоростью, равной сумме их скоростей. Потому что они бегут друг к другу и уменьшают расстояние с двух сторон.

А в одном направлении они оба бегут в одну сторону, и расстояние уменьшается только за счет того, что один бежит быстрее другого. Поэтому берется именно разность.