Теория вероятностей — популярное

Условная вероятность одно из важнейших понятий теории вероятностей, которое позволяет учитывать дополнительную информацию о наступлении другого события при оценке шансов события А.

Понятие условной вероятности возникло в работах математиков XVII–XVIII веков, связанных с анализом азартных игр и демографических данных.

• Томас Байес  (1701–1761) разработал теорему, связывающую условные вероятности (теорема Байеса).

• Пьер-Симон Лаплас  (1749–1827) формализовал теорию вероятностей, включая условные вероятности.

Современное определение основано на аксиоматике А. Н. Колмогорова (1933).

Задание 1

Мы сделали медицинский тест на наличие некоторой болезни тысяче человек. У 900 из них результат теста оказался отрицательным (тест говорит ”здоров”), у 100 — положительным (тест говорит ”болен”). Впоследствии выяснилось, что среди 900 людей с отрицательным результатом было 60 заболевших, а среди 100 людей с положительным результатом было 50 заболевших.

1. Ещё один человек сдал тест и получил положительный результат. Какова вероятность того, что он болен?

2. Ещё один человек сдал тест и получил отрицательный результат. Какова вероятность того, что он болен?

3. Человек здоров, но пока не знает об этом. Он сдаёт тест. Какова вероятность, что тест по ошибке определит его как больного, то есть даст положительный результат? (такой результат называют ложноположительным)

4. Человек болен, но пока не знает об этом. Он сдаёт тест. Какова вероятность, что тест по ошибке определит его как здорового, то есть даст отрицательный результат? (такой результат называют ложноотрицательным

Дополнительно

• Курбацкий А. Н. Операции с событиями, формула сложения вероятностей, независимые события. Условная вероятность
• И. Высоцкий, В. Шапарина. Об условной вероятности в школе

• Теория вероятностей и статистика. 10 класс
• Теория вероятностей и математическая статистика: решение задач : учебное пособие / О.Я. Шевалдина, Е.В. Выходец, О.Л. Кузнецова [и др.] ; под ред. Е.А. Трофимовой ; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Уральский федеральный университет.— Екатеринбург : Изд‑во Урал. ун‑та, 2021.— 220 с. : ил.— 100 экз.— ISBN 978-5-7996-3189-5.— Текст : непосредственный.

Т1. Условная вероятность

В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в каждом отдельном автомате, равна 0,3. В обоих автоматах кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. Вечером пришел мастер, чтобы обслужить автоматы, и обнаружил, что в первом кофе закончился. Какова теперь вероятность того, что во втором автомате кофе тоже закончился?

Т2. Сложение вероятностей

Т3. События независимые

Приемы решения

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Задание 1

Задание 2

В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Теория вероятностей — один из ключевых разделов математики, который изучает закономерности случайных явлений. Её история тесно связана с азартными играми, статистикой и естественными науками.

Общая структура

Страница состоит из 6 раскрывающихся блоков (аккордеонов):

Симуляции показывают, как экспериментальная вероятность приближается к теоретической при большом числе испытаний.

Как использовать интерактивные симуляции

В блоке «🎮 Интерактивные симуляции» три эксперимента:

🪙 Монета на линиях

• Что делает: бросает монету на линии, считает, сколько раз монета НЕ пересекла линию.

• Ползунки: можно менять расстояние между линиями (d) и радиус монеты (r).

• Кнопки:

  • «🎲 50 бросков» — добавить 50 случайных бросков

  • «⟳ Сброс» — очистить все результаты

• Что показывает:

  • «Всего» — сколько всего бросков сделано

  • «Не пересекла» — сколько раз монета не задела линию

  • «P эмп» — экспериментальная вероятность (не пересечь линию)

  • «Теор» — теоретическая вероятность (рассчитанная по формуле)

⚫ Точка в круге

• Что делает: генерирует случайные точки в круге, проверяет, ближе ли точка к центру, чем к границе.

• Кнопки:

  • «➕ 50 точек» — добавить 50 случайных точек

  • «🗑️ Сброс» — очистить

• Что показывает: экспериментальная вероятность (должна стремиться к 0.25)

🤝 Задача о встрече

• Что делает: моделирует встречу двух человек, которые ждут друг друга.

• Ползунок: время ожидания (5–30 минут).

• Что показывает: экспериментальная вероятность встречи (теоретическая ≈ 0.4375 при 15 минутах).