Уравнения и неравенства — популярное

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.

Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Особенности логарифмических уравнений

1. ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.

   • Аргумент логарифма >0

   • Основание >0 и ≠1

2. При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.

3. Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.

Алгоритм решения (общий план)

1. Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).

2. Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.

3. Решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Проверить каждый корень по ОДЗ (обязательно!).

5. Выписать ответ.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшие

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 2. Потенцирование

Тип 3. Использование свойств (сумма/разность логарифмов)

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Обратить внимание на типичные ошибки

Примеры

Тип 4. Замена переменной

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 5. Уравнения с переменным основанием

Тип 6. Логарифмирование обеих частей

Применяется, когда переменная и в основании, и в показателе степени.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип. 7. Переход к новому основанию

ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Дополнительно

1. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf

2. https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf
3. https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-3.pdf
4. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf
5. https://fm11.ucoz.ru/11math4UM.pdf

6. https://mathcourse.ru/wp-content/uploads/2022/10/zadanie-6-preobrazovanie-logarifmicheskih-vyrazhenij.pdf

Два алгебраических выражения a(х) и b(х) называются знакотождественными, если они имеют соответственно одни и те же промежутки знакоположительности, знакоотрицательности и нули.

Найти пары знакотождественных выражений а(х) и b(х) можно, основываясь на свойствах числовых неравенств. Приведём такие пары в таблице 4 (n—натуральные числа, l и с —действительные числа, u(х), v(х) и с(х) — произвольные алгебраические выражения).

Таким образом, для успешного решения неравенств методом знакотождественных множителей достаточно помнить о четырёх основных парах таких множителей:

1. разность модулей двух выражений (и вообще, разность двух выражений, неотрицательных при всех допустимых значениях переменной) и разность квадратов этих выражений;

2. разность двух корней одной степени и разность подкоренных выражений (при условии неотрицательности последних в случае корней чётной степени);

3. разность двух показательных выражений с одним и тем же числовым основанием, большим 1, и разность показателей;

4. разность двух логарифмов с одним и тем же числовым основанием, большим 1, и разность выражений под знаками логарифмов (при условии положительности этих выражений).

Примеры

Конечно же, запоминать эти системы не надо. Следует помнить лишь об основной идее решения подобных неравенств, заключающейся в переходе к основанию, большему 1, и замене разности логарифмов разностью алгебраических выражений под знаками логарифмов при естественных ограничениях на каждое из них.

Очевидно, что в ряде случаев метод знакотождественных множителей позволяет решать логарифмические неравенства с переменным основанием быстрее и эффективнее по сравнению с другими методами, предоставляя возможность сэкономить время и силы на экзамене для решения других заданий.

Дополнительно:

Метод замены переменной — один из самых эффективных алгебраических приёмов для сведения сложных уравнений к квадратным.

Дополнительно

1. ЕГЭ. Уравнения и неравенства, содержащие модули: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/061.pdf

2. Галеев Э.М.Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 1. Рациональные неравенства (метод интервалов). Уравнения высших степеней. Уравнения и неравенства с модулем. Изд. 10-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2012. - 64 c.: https://autobuy.clan.su/0Yagubov/larin/10041Z_Yagubov.RU.pdf

3. Уравнения и неравенства с модулем. Метод интервалов. Графики функций. Составитель: Я.С. Агаханова, доцент кафедры высшей математики МФТИ. 2020, 41 с.: https://fizmat.space/zftsh/files/2020-2021/maths/9-klass/Uravneniya_i_neravenstva_s_modulem._Metod_intervalov._Grafiki_funktsy.pdf

4. Математика для школьников: модули. МЕХМАТ МГУ: mathematics-for-schoolchildren-kanunnikov-mpv0.pdf

5. Нестандартные методы решения неравенств и их систем: https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/folder/fxzryzeho4/direct/72787882

6. Абсолютная величина. Уравнения, неравенства, системы,задачи с модулями. Составитель:Ермеев Валерий Александрович, учитель математики МБОУ «Цивильская средняя общеобразовательная школа №1 им. М.В.Силантьева» Цивильского района Чувашской Республики: https://zivsosh1.ru/images/2018/metodbox/elektiv_ermeev_compressed.pdf

7. Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. — М.: МЦНМО, 2007. — 296 с. https://nzdr.ru/data/media/biblio/kolxoz/M/MSch/Kozko%20A.I.,%20Chirskij%20V.G.%20Zadachi%20s%20parametrom%20i%20drugie%20slozhnye%20zadachi%20(MCNMO,%202007)(ru)(296s)_MSch_.pdf

8. Рисберг В. Г. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ I): Учебное пособие под общей ред. И.Ю. Черниковой; ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В.Г. Рисберг; – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_4.pdf

9. Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ
   ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 66 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_5.pdf

10. Самаров К.Л. Уравнения и неравенства с модулями: https://www.resolventa.ru/data/metodsch/absvalue.pdf

11. Шахмейстер А. Х. - Дробно-рациональные неравенства - 2008.pdf

12. Шахмейстер А. Х. - Уравнения - 2011.pdf

13. Элементарная математика. Уравнения и неравенства с модулем: учеб. пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2020.– 113 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/page_files/posobi_uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pdf

14. Яковлев. Уравнения с модулем: https://mathus.ru/math/modulur.pdf

15. Яковлев. Неравенства с модулем: https://mathus.ru/math/modulner.pdf

16. Яковлев. Уравнения и неравенства с модулем: https://ege-study.ru/wp-content/uploads/pdf-materials/modul.pdf

17. Тема № 15 «Уравнения и неравенства с модулем»: https://yagubov.ru/_ld/107/10778_10778Z_Yagubov..pdf

18. Неравенства с модулями: https://yagubov.ru/_ld/96/9659_9659Z_Yagubov.R.pdf

19. Уравнения с модулями: https://100ballnik.com/wp-content/uploads/2022/03/уравнение_с_модулями_задание12_егэ_профиль.pdf

1. Шестаков С. А., Захаров П. И. ЕГЭ 2018. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред.

2. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018. http://kaluginaee.lien.ru/userfiles/EGE%20pr13.pdf

3. Полещук О. М. Уравнения и неравенства. Методическое пособие для студентов первого курса. ⎯ М.: МГУЛ ⎯ 41 с.: https://mf.bmstu.ru/info/faculty/kf/caf/k6/learn/labs/urav_i_nerav.pdf

4. Алгебраические выражения, уравнения и неравенства : учеб. пособие / М. В. Глебова, Н. А. Осьминина, П. Г. Пичугина. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2018.  100 с.: https://elib.pnzgu.ru/files/eb/QnQN4iwePnQ9.pdf

5. Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства: https://s3.yandexcloud.net/pedproject/01/wp-content/uploads/2023/12/МасанинаТ.Н.-Османкина-С.И.-Сборник.pdf

6. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.: https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-15.pdf

7. Коропец З.Л., Коропец А.А, Алексеева Т.А. Нестандартные методы решения неравенств и их систем. — Орел, 2012. — 125 с.

8. Корянов А.Г., Прокофьев А.А.Методы решения неравенств с одной переменной: https://alexlarin.net/ege/2011/C3-2011.pdf

9. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной: https://eleskinanatali.ucoz.ru/test/C32012.pdf

10. С.И. Колесникова, старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ. Алгебраические уравнения и неравенства. Математика: задание №1 для 10-х классов (2017 – 2018 учебный год), 2017, 26 с.

11. «Математика. Подготовка к ЕГЭ. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» — учебно-методическое пособие авторов Ф. Ф. Лысенко и С. Ю. Кулабухова (2013): https://go.11klasov.net/1037-matematika-podgotovka-k-ege-nestandartnye-metody-resheniya-uravneniy-i-neravenstv-pod-red-lysenko-ff-kulabuhova-syu.html

12. ЕГЭ. Практикум по математике. Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений - Садовничий Ю.В.: https://go.11klasov.net/1009-ege-praktikum-po-matematike-reshenie-uravneniy-i-neravenstv-preobrazovanie-algebraicheskih-vyrazheniy-sadovnichiy-yuv.html

13. Элементарная математика. Уравнения и неравенства с модулем: учеб. пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2020. – 113 с: https://lpi.sfu-kras.ru/files/page_files/posobi_uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pdf

14. Элементарная математика. Иррациональные уравнения и неравенства: учебное пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2021. – 114 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/elementarnaya_matematika._irracionalnye_uravneniya_i_neravenstva_2021.pdf

15. Элементарная математика. Рациональные уравнения и неравенства / А.В.Фирер, Е.Н.Яковлева, А.П.Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2019. – 146с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/elementarnaya_matematika._racionalnye_uravneniya_i_neravenstva_2019.pdf

16. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.: https://dist-tutor.info/file.php/216/Povyshenie_kvalifikacii/02.pdf

17. Математическое образование. Электронная библиотека: https://www.mathedu.ru/catalogue/

18. Учебники по математике: https://go.11klasov.net/mathematics/

Метод AC (или AC method как lazy ac method, метод разложения методом подбора p и q, метод факторинга)— эффективная альтернатива стандартному решению через дискриминант, особенно когда корни являются целыми или простыми дробями. Он основан на разложении свободного члена c и коэффициента a на множители.

Метод факторизации - это процесс преобразования квадратного уравнения в произведение двух линейных уравнений вида (px + q) (rx + s) = 0. Затем мы можем определить значения x, которые удовлетворяют уравнению.

В математике факториза́ция или фа́кторинг — это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект. Например, число 15 факторизуется на простые числа 3 и 5, а полином x2 − 4 факторизуется на (x − 2)(x + 2). В результате факторизации во всех случаях получается произведение более простых объектов, чем исходный.

Рекомендую:

1. Показательные уравнения: решение простейших примеров и алгоритмы

2. Показательные уравнения: метод вынесения общего множителя с примерами

3. Показательные уравнения: метод группировки с примерами решений

4. Показательные уравнения: метод замены переменной с примерами решений

5. Показательные неравенства: теория и примеры

Дополнительно:

Источник: https://urok.1sept.ru/articles/696278/article.pdf

1. Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств [Электронный ресурс] / Р.Ф. Ахвердиев, Е.А. Турилова, А.А. Евсеева и др. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 778 Кб). – Казань: Издательство Казанского университета, 2021. – 61 с. : https://kpfu.ru/portal/docs/F_360608299/Elementarnaya.matematikaobshhie.metody.resheniya.uravnenij.i.neravenstv.pdf.

2. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.: https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-15.pdf

3. Баранова Е.В., Менькова С.В. Элементарная математика. - Часть 1: учебно-методическое пособие. – Арзамас: Арзамасский филиал ННГУ, 2014. – 99 с.: http://www.unn.ru/books/met_files/Elementary_math.pdf

4. Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.ссылка

5. Мисяр Н.Н., Потапов Д.И. Методическая разработка «Показательная функции. Показательные уравнения и неравенства. Системы показательных уравнений.» (для самостоятельной работы студентов) – Санкт-Петербург: СПб ГБПОУ "Пожарно-спасательный колледж "Санкт-Петербургский центр подготовки спасателей", 2022. - 30 с.: https://cps-spb.ru/files/sveden/obrazovinie/metod/Методическа_разработака_Потапов_Мисяр.pdf

6. Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.: https://dist-tutor.info/file.php/216/Povyshenie_kvalifikacii/02.pdf

Дополнительно

1. matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf

2. ЕГЭ. Показательные и логарифмические уравнения: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf

3. ЕГЭ. Показательные и логарифмические неравенства: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/060.pdf

4. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.: https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-15.pdf

5. Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.

6. Масанина Т.Н. Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Учебное пособие. Сургутский политехнический колледж, 2023: https://s3.yandexcloud.net/pedproject/01/wp-content/uploads/2023/12/МасанинаТ.Н.-Османкина-С.И.-Сборник.pdf

7. Паркевич Егор Вадимович. Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

8. Рисберг В. Г. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 1): Учебное пособие под общей ред. И. Ю. Черниковой / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_8.pdf

9. Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 2): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова. – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 64 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_9.pdf

10. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие. — М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. — 352 с.

11. Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.: https://dist-tutor.info/file.php/216/Povyshenie_kvalifikacii/02.pdf

12. Элементарная математика. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие / А. В. Фирер, Е. Н. Яковлева. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2025. – 112 с.:https://lpi.sfu-kras.ru/files/a._v._firer_em_pokaz_logarifm_uravn_neravenstva_firer_yakovleva.pdf

13. И. В. Яковлев. Показательные неравенства (задания): ttps://mathus.ru/math/pokazaner.pdf

Метод интервалов используется при решении неравенств довольно общего вида: f(x) > g(x) (знак у неравенства может быть другим: >, <).

Единственным ограничением на функции f и g является требование их непрерывности.

Пример 1

Примеры 2-3

Примеры 4-5

Примеры 6-7

Пример 8