Уравнения и неравенства — популярное

Дополнительно

Галеев Э.М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Тригонометрия. ссылка

Уравнения вида:

sin(-kx) = a, cos(-mx) = b, tg(-nx) = c

или

sin(-x + b) = a, cos(-x - π/3) = c

Ключевой принцип: используем чётность/нечётность тригонометрических функций.

Свойства чётности

Запомним:

• sin(-t) = -sin t → нечётная

• cos(-t) = cos t → чётная

• tg(-t) = -tg t → нечётная

• ctg(-t) = -ctg t → нечётная

Простейшие случаи

Пример 1: sin(-x) = 1/2

Пример 2: cos(-x) = 1/2

Важно: Минус просто исчез!

Пример 3: sin(-3x + π/4) = √2/2

Общий алгоритм:

1. Сделать замену: t = (выражение с x)
2. Решить простое уравнение: sin t = a или cos t = a
3. Вернуться к старой переменной: (выражение с x) = t
4. Решить полученное уравнение относительно x

Пример 1: sin 2x = √3/2

Шаг 1: Замена

Предположим, что t = 2x
Тогда уравнение становится: sin t = √3/2

Знаем, что sin(π/3) = √3/2 и sin(2π/3) = √3/2
Общее решение:

t = π/3 + 2πn, n ∈ ℤ
t = 2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ

Шаг 2: Решаем

2x = π/3 + 2πn или 2x = 2π/3 + 2πn

x = π/6 + πn, n ∈ ℤ
x = π/3 + πn, n ∈ ℤ

Ответ:
x = π/6 + πn или x = π/3 + πn, n ∈ ℤ

Пример 2: tg(3x - π/6) = 1

1. 3x - π/6 = π/4 + πn

2. 3x = π/4 + π/6 + πn = 3π/12 + 2π/12 + πn = 5π/12 + πn

3. x = 5π/36 + πn/3, n ∈ ℤ

1. https://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/kv0501irrats.pdf
2. https://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/kv0601irrats.pdf
3. https://edu-potential.ru/images/catalog/Math/irrac-nerav-kol.pdf
4. https://edu-potential.ru/images/catalog/Math/Slojnie_zadachi_olimpiad_MFTI_1.pdf
5. https://www.resolventa.ru/data/metodsch/irrineq.pdf
6. https://rosuchebnik.ru/upload/iblock/c3c/c3cddbce6074dc776374aafa386053a3.pdf

1. https://reshala.vercel.app/malkova-15.pdf
2. https://mathus.ru/math/irrurs.pdf
3. https://mathus.ru/math/irraner.pdf

1. Галеев Э.М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ. Часть 2. Иррациональные уравнения и неравенства. Показательные уравнения и неравенства. Логарифмические уравнения и неравенства. Изд. 10-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2012. - 80 c.: https://autobuy.clan.su/0Yagubov/larin/10042Z_Yagubov.RU.pdf

2. Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Учебное пособие. Сургутский политехнический колледж, 2023: https://s3.yandexcloud.net/pedproject/01/wp-content/uploads/2023/12/МасанинаТ.Н.-Османкина-С.И.-Сборник.pdf
   Методические материалы по математике (иррациональные уравнения): https://go2phystech.ru/wp-content/uploads/2021/01/math_irr.pdf
   Миспахов А.Ш. Учебное пособие по математике. Раздел: «Иррациональные уравнения и неравенства» – Махачкала: ДГУНХ, 2018г., 23 с.: https://dgunh.ru/content/umk/math/ump_spo-6.pdf

3. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной: https://alexlarin.net/ege/2011/C3-2011.pdf
   

4. Элементарная математика. Иррациональные уравнения и неравенства: учебное пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2021. – 114 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/elementarnaya_matematika._irracionalnye_uravneniya_i_neravenstva_2021.pdf

5. Шахмейстер А. Х. - Иррациональные уравнения и неравенства - 2011.pdf

Нестандартные методы решения тригонометрических неравенств: Учебно-методическое пособие / Е.Р. Садыкова, О.В. Разумова. – Казань: Казан. ун-т, 2013. – 69 с.: https://kpfu.ru/docs/F2017077195/metodichka.pdf

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.: https://alexlarin.net/ege/2011/C3-2011.pdf

Комментарий

Показательные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина находится в показателе степени.

Основной принцип решения

Главный метод основан на свойстве монотонности показательной функции:
Если a>0 и a≠1, то равенство a^m=a^n выполняется только тогда, когда m=n.

Алгоритм:

1. Привести обе части уравнения к одному и тому же основанию a.

2. Приравнять показатели степеней.

3. Решить получившееся (чаще всего линейное или квадратное) уравнение.

Решение простейших показательных уравнений основано на свойствах степеней, что позволяет находить корни эффективно и точно.

Таблица частых преобразований

Примеры

Важные нюансы

1. Основание a: всегда a>0 и a≠1. Если в уравнении основание содержит переменную, нужен отдельный анализ (это уже выходит за рамки простейших).

2. Отрицательные числа: Выражение ax при a>0 всегда положительно. Если в правой части стоит ноль или отрицательное число — корней нет (если только это не особый случай с основанием, равным нулю, который обычно не рассматривается в стандартных простейших).
   Пример: 2^x=−4 — корней нет.

3. Нулевая степень: Помните, что любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1.

Более сложные простейшие

Дополнительные ресурсы

Описание

Пример

Дополнительно

Описание

Пример 1

Пример 2

Дополнительно