За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 16 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.
Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом.
Основные понятия
S — сумма кредита или вклада (в рублях) r — процентная ставка (например, 10% → r=10 ) k = 1 + r/100 — коэффициент роста долга/вклада (например, при 10% → k=1.1 ) n — количество периодов (лет, месяцев) x — размер платежа (если аннуитетный) d = S/n — ежемесячное (ежегодное) погашение основного долга (для дифференцированного)
За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 16 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.
Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом.
Основные понятия
S — сумма кредита или вклада (в рублях) r — процентная ставка (например, 10% → r=10 ) k = 1 + r/100 — коэффициент роста долга/вклада (например, при 10% → k=1.1 ) n — количество периодов (лет, месяцев) x — размер платежа (если аннуитетный) d = S/n — ежемесячное (ежегодное) погашение основного долга (для дифференцированного)
В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.).
Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.
Основная формула, связывающая работу, время и производительность:
A=P⋅t
где:
A — объем работы (например, "1 работа" или конкретное количество деталей),
P — производительность (работа в единицу времени),
t — время выполнения работы.
Основные понятия
Совместная работа — сумма производительностей.
Основные типы задач
Тип 1. Один работник выполняет работу
Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.
Задание 1
Тип 2. Два объекта работают вместе
Их производительности складываются.
Задание 2
Задание 10 2026Я - в9
Задание 10 2026Я - в19
Задание 3
Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?
Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже
Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.
Задание 4 Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?
Решение:
Задание 5 Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?
Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами
Задание 6 Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?
Решение
Задание 10 2026Я - в13
Задание 10 2026Я - в23
Задание 10 2026Я - в33
Тип 5. Задачи на бассейны и трубы
Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.
Задание 7 Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?
Задание 8
Задание 9
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?
Дано:
Первая труба пропускает x литров воды в минуту.
Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.
Объём резервуара: 480 литров.
Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая
Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:
Упростим уравнение:
Решим квадратное уравнение:
Ответ: Первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.).
Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.
Основная формула, связывающая работу, время и производительность:
A=P⋅t
где:
A — объем работы (например, "1 работа" или конкретное количество деталей),
P — производительность (работа в единицу времени),
t — время выполнения работы.
Основные понятия
Совместная работа — сумма производительностей.
Основные типы задач
Тип 1. Один работник выполняет работу
Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.
Задание 1
Тип 2. Два объекта работают вместе
Их производительности складываются.
Задание 2
Задание 10 2026Я - в9
Задание 10 2026Я - в19
Задание 3
Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?
Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже
Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.
Задание 4 Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?
Решение:
Задание 5 Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?
Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами
Задание 6 Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?
Решение
Задание 10 2026Я - в13
Задание 10 2026Я - в23
Задание 10 2026Я - в33
Тип 5. Задачи на бассейны и трубы
Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.
Задание 7 Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?
Задание 8
Задание 9
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?
Дано:
Первая труба пропускает x литров воды в минуту.
Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.
Объём резервуара: 480 литров.
Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая
Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:
Упростим уравнение:
Решим квадратное уравнение:
Ответ: Первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.
Ответ: а) 11%, б) 14%
Задача 2
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.
Ответ: а) 11%, б) 14%
Задача 2
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?
Решение
Вес зерна изменился из-за испарения воды.
Сухое вещество осталось неизменным.
Шаг 1. Сколько сухого вещества было
Масса зерна исходная: 51 т. Влажность 20%, значит воды 20%, сухого вещества:
100%−20%=80%
51×0.80=40.8 т сухого вещества.
Шаг 2. Сухое вещество после сушки
После сушки влажность 15%, значит сухого вещества:
На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?
Решение
Вес зерна изменился из-за испарения воды.
Сухое вещество осталось неизменным.
Шаг 1. Сколько сухого вещества было
Масса зерна исходная: 51 т. Влажность 20%, значит воды 20%, сухого вещества:
100%−20%=80%
51×0.80=40.8 т сухого вещества.
Шаг 2. Сухое вещество после сушки
После сушки влажность 15%, значит сухого вещества:
Центральным углом окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.
Центральным углом окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.
Особенным образом ведут себя медиана, биссектриса и высота, проведённые к гипотенузе.
Высота разбивает прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу, то есть имеют одинаковую форму, но разные размеры. Причём эти два треугольника подобны не только друг другу, но и большому треугольнику тоже.
Биссектриса является не только биссектрисой самого треугольника, но и биссектрисой маленького треугольника, ограниченного медианой и высотой.
Особенным образом ведут себя медиана, биссектриса и высота, проведённые к гипотенузе.
Высота разбивает прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу, то есть имеют одинаковую форму, но разные размеры. Причём эти два треугольника подобны не только друг другу, но и большому треугольнику тоже.
Биссектриса является не только биссектрисой самого треугольника, но и биссектрисой маленького треугольника, ограниченного медианой и высотой.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 и 20. Найдите длину высоты, опущенной на гипотенузу этого треугольника.Решение. По теореме Пифагора находим гипотенузу: c= 25. Находим высоту: 15*20/25=12.
Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2016. Математика. Теория вероятностей. Задача 4 (профильный уровень). Задача 10 (базовый уровень) Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. Электронное издание. М.: МЦНМО, 2016.
Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2016. Математика. Теория вероятностей. Задача 4 (профильный уровень). Задача 10 (базовый уровень) Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. Электронное издание. М.: МЦНМО, 2016.
