Популярное Новое

Формула включения-исключения — мощный инструмент комбинаторики, который помогает считать количество элементов, удовлетворяющих сложным условиям (например, «хотя бы один», «не более двух» и т.д.). 

Задачи для самостоятельного решения

1. В классе 35 учеников. 20 участвуют в олимпиаде по математике, 18 — по физике, 7 — по обоим предметам. Сколько не участвуют ни в одной олимпиаде?

   Ответ:  4 ученика.

2. Из 60 человек 35 любят чай, 40 — кофе, а 15 — и то, и другое. Сколько человек не любят ни чай, ни кофе?

   Ответ:  0 человек.

3. В школе 80 детей. 50 занимаются спортом, 45 — музыкой, 20 — рисованием. 20 совмещают спорт и музыку, 15 — спорт и рисование, 10 — музыку и рисование, а 5 — все три занятия. Сколько детей не заняты ничем?

   Ответ:  5 детей.

4. Сколько чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

   Ответ:  26 чисел.

5. В группе 90 туристов. 50 не были в Англии, 60 — во Франции, 55 — в Италии, 30 — ни в Англии, ни во Франции, 25 — ни в Англии, ни в Италии, 20 — ни во Франции, ни в Италии, 15 — ни в одной из этих стран. Сколько побывали во всех трёх?

   Ответ:  5 туристов.

Дополнительно

Как применять формулы приведения к отрицательным углам?

Сначала используйте чётность/нечётность, потом — приведение:

Пример 1: sin(-150°)

sin(-150°) = -sin 150°          // убрали минус
sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2  // формула приведения
sin(-150°) = -1/2

Пример 2: cos(-210°)

cos(-210°) = cos 210°           // минус исчез (чётность)
cos 210° = cos(180° + 30°) = -cos 30° = -√3/2  // формула приведения
cos(-210°) = -√3/2

Можно ли применять формулы приведения к углам больше 2π?

Основной принцип

Любой угол можно представить в виде:

θ = 2πk + α, где k ∈ ℤ, α ∈ [0, 2π)

Тогда:

sin(θ) = sin(α)
cos(θ) = cos(α)
tg(θ) = tg(α) (если определено)
ctg(θ) = ctg(α) (если определено)

Это свойство называется периодичностью тригонометрических функций.

Алгоритм работы с большими углами

Шаг 1: Убрать лишние полные обороты

Разделить угол на 2π (или 360°) и взять остаток

Шаг 2: Применить формулы приведения к α (если нужно)

Шаг 3: Получить окончательный ответ

Примеры

Пример 1: sin 750°

750° ÷ 360° = 2 полных оборота и остаток
750° - 2×360° = 750° - 720° = 30°
sin 750° = sin 30° = 1/2

Можно короче: 750° mod 360° = 30°

Пример 2: cos(17π/4)

17π/4 = 4π + π/4
cos(17π/4) = cos(π/4) = √2/2

Пример 3: tg 1000°

1000° ÷ 360° = 2 (остаток 280°)
1000° - 2×360° = 280°
tg 1000° = tg 280°
Теперь можно применить формулы приведения к 280°
tg 280° = tg(270° + 10°) = -ctg 10°

Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) стандартна.