Популярное Новое

Для удобства запоминания значений синуса углов 30◦ , 45◦ , 60◦ (а также 0◦ и 90◦) можно использовать правило ладони. Если присвоить каждому из пальцев ладони номер и сопоставить угол (см. Рис. 1.4.4), то для нахождения синуса каждого из этих углов достаточно извлечь квадратный корень из номера пальца, сопоставленного углу, и полученный результат разделить на два.

Замечание. С помощью «правила ладони» можно находить и значения косинусов тех же самых углов. Для этого надо начать нумерацию пальцев не с мизинца, а с большого пальца.

1. Тригонометрия: учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса всех специальностей / сост.: Алексеева Е.В. – Ростов-на-Дону: РКРИПТ, 2015. – 60 с.

2. Галеев Э.М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Тригонометрия. Изд. 4-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2018. - 72 c.: https://co8a.ru/wp-content/uploads/2020/05/trig3.pdf

3. И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом. Тригонометрия. М.: МЦНМО, 2002. — 199 с.: https://old.mccme.ru/free-books/lvovski/trig.pdf

4. Морозова А.В., Милованович Е.В., Базаг М. Основы тригонометрии– СПб: Университет ИТМО, 2022. – 35 с.: https://books.ifmo.ru/file/pdf/3088.pdf

5. Демидова Н.Е. Математика. Основы тригонометрии: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2011. – 92 с.: https://bibl.nngasu.ru/electronicresources/uch-metod/ecology/842968.pdf

6. А.В. Землянко Тригонометрические формулы: https://www.vgifk.ru/sites/default/files/docs_group/spravochnik_po_trigonometrii.pdf

7. Яковлев. Простейшие тригонометрические уравнения: https://mathus.ru/math/trigeqprost.pdf

8. Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников. Тригонометрия. Методика изучения и решения задач: учебно-методическое пособие. – Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2018. – 100 с. : https://spo.elsu.ru/data/uploads/posobiya/trigonometriya_elchaninova_melnikov.pdf

Данное пособие содержит двести геометрических задач с практическим содержанием, среди которых:

– задачи на нахождение расстояний с использованием теоремы Пифагора;

– задачи на нахождение углов;

– задачи, сводящиеся к нахождению длин дуг окружности;

– задачи на нахождение расстояний до недоступных объектов с использованием подобия;

– задачи на нахождение расстояний и углов с использованием табличных значений тригонометрических функций;

– задачи на нахождение площадей плоских и площадей поверхностей пространственных фигур;

– задачи на нахождение объемов пространственных фигур и др.

Задача 1

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки часов в 19:00? Ответ дайте в градусах.

Алгоритм:

1. Разбить циферблат:

   • Полный круг = 360°

   • Между соседними часами = 360° / 12 = 30°

   • Между соседними минутами = 360° / 60 = 6°

2. Определить положение стрелок:

   • Часовая стрелка:  за каждый час смещается на 30° от отметки «12». В 19:00 часовая стрелка ровно на цифре 7.

     Отсчёт от 12:  7 часов × 30° = 210°  от верхней точки.

   • Минутная стрелка:  в 00 минут — на цифре 12, то есть 0° от верхней точки.

3. Найти разницу углов:

   • Угол часовой = 210° (от 12 по часовой)

   • Угол минутной = 0°

   • Разница:  |210° − 0°| = 210°

4. Выбрать меньший угол между стрелками (т.к. угол между стрелками ≤ 180°):
   Если разность > 180°, вычесть из 360°.
   210° > 180° ⇒ меньший угол = 360° − 210° = 150°

Решение:

• Часовая: 7 × 30 = 210°

• Минутная: 0°

• Разность = 210°

• 210° > 180° ⇒ угол = 360 − 210 = 150°

Ответ: 150°

От 12 до 7 — 7 делений циферблата (210° по часовой). Минутная на 12, разница 210°, но меньший путь через 11, 10... — 150°.

Задача 2

В колесе углы между соседними спицами равны. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 30°?

Дано:
Угол между соседними спицами = 30°.
Найти количество спиц.

Решение:

1. Полный круг = 360°.

2. Полный круг делится на равные углы.

3. Количество спиц = полный круг / угол между соседними спицами:
   n=360°​/30°
   n=12

Ответ: 12 спиц

Рассмотрим тип задач с применением теоремы Пифагора.

"Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах."

Мы имеем:

• Лестница  длиной 13 м — это  гипотенуза  прямоугольного треугольника.

• Расстояние от нижнего конца лестницы до стены  5 м — это  один катет  (прилегающий к земле).

• Высота, на которой лестница касается стены  — это  второй катет  (противолежащий к стене), который нам нужно найти.

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник, где

• Гипотенуза c=13

• Катет a =5 м

• Катет b=? м (высота)

Земля и стена перпендикулярны друг другу.

Применяем теорему Пифагора

Формула: a² + b² = c²

Подставляем известные значения:
5² + b² = 13²

Вычисляем

25 + b² = 169

b² = 169 − 25

b² = 144

b = √144

b = 12 (так как длина положительна)

Ответ: 12 метров

Задача 2

На расстоянии 12 метров от дома вкопали столб высотой 7 метров. От вершины столба к стене дома протянули кабель и закрепили его на высоте 2 метра от земли. Найдите длину кабеля в метрах

Дано:
Расстояние от столба до дома: 12 м
Высота столба: 7 м
Высота крепления на доме: 2 м
Найти длину кабеля d.

Вертикальный катет: 7 − 2 = 5 м
Горизонтальный катет: 12 м

По теореме Пифагора:
d² = 12² + 5²
d² = 144 + 25
d² = 169
d = √169
d = 13

Ответ: 13 м

Алгоритм для подобных задач

1. Определить прямоугольный треугольник  в задаче.

2. Гипотенуза (c)  — обычно лестница, трос, наклонная плоскость.

3. Катеты (a и b)  — горизонтальное и вертикальное расстояния.

4. Записать: a² + b² = c²

5. Подставить известные числа , найти неизвестное.

6. Дать ответ с единицами измерения.

Дополнительно:

Соотношение n:m — это классический пример путаницы, потому что в зависимости от контекста оно может означать как доли от целого, так и прямое сравнение (во сколько раз больше).

Рассмотрим различные варианты интерпретации.

1. Интерпретация «Доли от целого» (Части)

Смысл: Есть некое целое, которое состоит из частей:1:3 частей.

• Как считать: Складываем части: 1 + 3 = 4 (всего частей).

• Результат:

  • Первая доля: 1/4  от целого (25%).

  • Вторая доля: 3/4  от целого (75%).

• Пример 1. Разделить прибыль 100 000 руб. в отношении 1:3

  • Первый получит: 100 000 / 4 = 25 000.

  • Второй получит: 25 000 * 3 = 75 000

    .

• Пример 2. Разделить 100 конфет в отношении 2:3.

  • Всего частей: 5.

  • Первый получит: (2/5)*100 = 40 конфет.

  • Второй получит: (3/5)*100 = 60 конфет.

2. Интерпретация «Сравнение» (Во сколько раз)

Смысл: Значение параметра у второго объекта (или человека) ровно в 3 раза больше, чем у первого.

• Как считать: Если у первого X, то у второго 3X.

Пример 1.

 «Команды получили баллы одна в 3 раза больше другой». Значит, если первая команда набрала 10 баллов, то вторая — 30. Сумма не важна, важно соотношение результатов.

3. Геометрическая интерпретация (Подобие)

Для подобных фигур отношение n:m задает масштаб пересчета линейных размеров.

• Линейный коэффициент подобия:

   k = n/m (или m/n, в зависимости от того, что с чем сравниваем).

• Отношение площадей:  (n/m)².

• Отношение объемов:  (n/m)³.

Пример:

 Матрешки относятся по высоте как 3:1. Площадь росписи большей матрешки больше в (3/1)² = 9/1= в 9 раз.

4 Реальные ситуации (Контекст имеет значение)

А. Разведение (Концентраты, сиропы)

Здесь 1:3 может означать соотношение концентрата к воде.

• Смысл:  На 1 часть концентрата нужно добавить 3 части воды.

• Общий объем получится 4 части, но концентрация вещества в растворе будет 1/4  (25%).

Б. Масштаб (Карты, чертежи)

Запись 1 : 100 (n=1, m=100) всегда означает, что 1 см на карте соответствует 100 см (1 м) в реальности.

• n < m:  Масштаб уменьшения (чертеж детали).

• n > m:  Масштаб увеличения (рисунок мелкого насекомого) — например, 10:1.

Задача

Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 1,5 км. Чему равно расстояние между городами А и B (в км), если на карте оно составляет 16 см?

Условие:
В 1 см карты — 1,5 км.
На карте расстояние = 16 см.
Найти реальное расстояние S в км.

Алгоритм:

• Определить масштаб: 1 см : 1,5 км.

• Расстояние на карте умножить на количество километров в 1 см.

Решение:
1 см карты = 1,5 км.
16 см карты = 16 1,5 км.
16 1,5 = 24.

Ответ: 24 км

Задача

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,55 м, а наибольшая высота h2 равна 2,55 м. Ответ дайте в метрах.

Условие:
Перила — наклонная линия (боковая сторона трапеции).
Нижняя высота h1 = 1,55 м.
Верхняя высота h2 = 2,55 м.
Столб стоит вертикально посередине перил по длине.
Найти высоту столба l.

Алгоритм решения:

1. Вспомнить формулу средней линии трапеции: Средняя линия = (основание1 + основание2) / 2.

2. Подставить данные: l = (h1 + h2) / 2.

3. Вычислить  и дать ответ в метрах.

Решение:

h1 = 1,55 м
h2 = 2,55 м
l = (h1 + h2) / 2
l = (1,55 + 2,55) / 2
l = 4,10 / 2
l = 2,05

Ответ: 2,05 м

Задача 1

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3,6 м. Ответ дайте в метрах.

Дано:

Горка — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Вертикальная высота h = 3,6 м. Столб стоит вертикально посередине горки.
Найти высоту столба l.

1 способ. Подобие треугольников

Треугольник ABC: AC вертикаль = h, AB — горка.
Точка E — середина AB, DE — столб вертикально, D — на земле.
Треугольник DBE подобен треугольнику ABC:
• Угол B общий
• Угол DEB = угол ACB = 90°, потому что DE параллельно AC.

Коэффициент подобия

Так как E — середина AB, то BE = (1/2) AB.
В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно:
l / h = BE / AB = (1/2) AB / AB = 1/2.

Вычисление

l / 3,6 = 1/2
l = 3,6 * (1/2)
l = 1,8

Ответ: 1,8 м

2 способ. Формула средней линии

Средняя линия = половина параллельной стороны.
DE = 1/2 * AC

l = 1/2 h
l = 1/2 3,6

l = 1,8

Ответ: 1,8 м

Случай 1. Торговля: Наценка и Скидка

Ситуация: Магазин делает наценку 25%, а потом распродажу со скидкой 20%.

Важно: Проценты берутся от разной базы.

1. Закупка:

    Товар купили за 100 руб.

2. Наценка (+25%):

    Цена на ценнике стала 100+25%=100+25=125 руб. (25% взяли от закупочной цены 100)

3. Скидка (-20%):

    Скидку дают с новой  цены (125 руб). 20% от 125=125×0,2=25 руб.

4. Итог:

    Цена продажи = 125−25=100 руб.

Случай 2. Банки: Вклады и Кредиты (Сложный процент)

Ситуация: Вы положили 10 000 руб в банк под 10% годовых на 2 года. Банк предлагает два варианта: простое начисление % (снимать прибыль каждый год) или капитализация (сложный процент).

• Вариант А (Простые %):

  • 1-й год: прибыль 1000 руб (сняли).

  • 2-й год: прибыль 1000 руб.

  • Итого:  12 000 руб.

• Вариант Б (Сложные %):

  • 1-й год: 10 000 + 10% = 11 000 руб (прибыль НЕ снимаем).

  • 2-й год: 11 000 + 10% = 12 100 руб

    .

Случай 3. Кулинария: Прямая пропорция

Ситуация: В рецепте на 4 порции омлета нужно 6 яиц и 200 мл молока. Сколько молока нужно на 10 порций?

Логика: Количество порций и ингредиентов находятся в прямой пропорции. Во сколько раз больше порций, во столько раз больше молока.

1. Находим коэффициент пропорциональности: 10÷4=2,5

2. Умножаем пропорции молока на коэффициент: 200×2,5=500 мл.

Через пропорцию (правило креста):

4 порции/10 порций=200 мл/x мл  ⟹  4x=2000  ⟹  x=500

Случай 4. Стройка/Ремонт: Обратная пропорция

Ситуация: 5 рабочих могут оклеить комнату обоями за 8 часов. Сколько времени потребуется 10 рабочим, чтобы сделать ту же работу?

Логика: Чем больше рабочих, тем меньше времени. Это обратная пропорция.

Ошибка новичка: 8÷2=4 часа (интуитивно верно, но давай проверим математически).

• Объем работы (человеко-часы) = 5 чел×8 ч=40 человеко-часов.

• Если рабочих 10, время = 40÷10=4 часа.

Через пропорцию (осторожно, обратная!):
При обратной зависимости отношение рабочих обратно отношению времени:

5/10=x/8  ⟹  10x=40  ⟹  x=4

Случай 5. География: Масштаб

Ситуация: Масштаб карты 1:200 000. Расстояние между городами на карте равно 15 см. Какое расстояние в реальности?

Логика: Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше реального. Прямая пропорция.

• 1 см на карте = 200 000 см на местности.

• 15 см на карте = 15×200000=3000000 см.

• Переводим в километры (убираем 5 нулей, т.к. в 1 км = 1000 м = 100 000 см): 3000000 см=30 км

Случай 6. Химия/Медицина: Концентрация раствора

Ситуация: У вас есть 500 мл 9% раствора уксуса (столовый). Сколько в нем чистой уксусной кислоты?

Логика: Процент показывает долю чистого вещества в общем объеме.

• 9% = 9/100=0,09.

• Объем чистой кислоты = 500×0,09=45 мл.

Обратная задача: У вас есть 50 мл чистой кислоты. Нужно получить 5% раствор. Сколько воды нужно добавить?

• 5% раствор — это 5 мл кислоты на 100 мл раствора.

• Если кислоты 50 мл (в 10 раз больше), то объем раствора должен быть 100×10=1000 мл (1 литр).

• Значит, воды нужно: 1000−50=950 мл.

Случай 7. Работа и Зарплата: Процент выполнения плана

Ситуация: План менеджера на месяц — продать товаров на 1 000 000 руб. Он продал на 1 200 000 руб. На сколько процентов перевыполнен план?

Логика: План — это 100%.

Факт/План=1200000/1000000=1,2

Переводим в проценты: 1,2×100%=120%
Значит, план перевыполнен на 120%−100%=20%

Случай 8. Разведение жидкостей (Бытовая химия)

Ситуация: На бутылке концентрата средства для мытья полов написано: "развести 1:10". Сколько концентрата нужно налить в бутылку объемом 1 литр (1000 мл), чтобы получить рабочий раствор?

Логика:
Пропорция 1:10 означает, что на 1 часть концентрата приходится 10 частей воды. Всего частей в растворе = 1+10=11 частей.
1 литр раствора (1000 мл) — это и есть эти 11 частей.

• Объем 1 части = 1000/11≈90,9 мл.

• Концентрат = 1 часть ≈ 91 мл.

• Вода = 10 частей ≈ 909 мл

  .