Задача 1

Требуется приготовить 100 г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть нужно взять x г 25%-го раствора нашатырного спирта.

Тогда воды потребуется 100−x г (чистая вода, 0% нашатыря).

Шаг 2. Баланс нашатырного спирта

В 25%-м растворе масса чистого нашатыря: 0.25x

В воде нашатыря нет.

В итоговом 10%-м растворе массой 100 г чистого нашатыря: 0.10×100=10 г

Уравнение баланса:

0.25x=10

Шаг 3. Решаем

x=10/0.25=40 г

Воды:

100−40=60 г

Ответ: 40​ г 25%-го раствора и 60​ г воды.

Дополнительно:

Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

Шаг 1. Обозначения

• AB=420 км.

• Автомобиль выехал из A в B (обозначим его скорость va​ км/ч).

• Мотоциклист выехал из A в B через 1 час после автомобиля, скорость vm=80 км/ч.

• Мотоциклист догнал автомобиль в городе C (находится между A и B, расстояние AC=x км).

• В момент встречи в C мотоциклист разворачивается  и едет обратно в A.

• Когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль в этот момент  прибыл в B.

Время движения отсчитываем от момента старта автомобиля.

Шаг 2. Определим время до встречи в C

Пусть t1​ — время от старта автомобиля до встречи в C.

Автомобиль: проехал x км за t1​ часов: x=va⋅t1.(1)

Мотоциклист выехал на 1 час позже, поэтому его время в пути до встречи = t1−1 часов. Он проехал те же x км со скоростью 80 км/ч: x=80⋅(t1−1).(2)

Из (1) и (2): va⋅t1=80(t1−1).(3)

Шаг 3. Движение после встречи в C

После встречи:

• Мотоциклист разворачивается и едет обратно из C в A (расстояние x) со скоростью 80 км/ч. Время на обратную дорогу = t2=x/80​ часов.

• Автомобиль продолжает путь из C в  B (расстояние 420−x) со скоростью va​. Время на этот отрезок = t3=(420−x)/v​.

Условие задачи: когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль прибыл в B. То есть время движения после встречи у них одинаковое: t2=t3

x/80=(420−x)/va.(4)

Шаг 7. Ответ

Расстояние от A до C равно 240 км.

Именные теоремы — это теоремы, названные в честь математиков (или реже — других ученых), которые их открыли, доказали или в честь которых они были названы. Это своеобразный способ увековечить вклад ученого в науку.

АЛГЕБРА и ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Древний мир и Средневековье

Эпоха Возрождения и Новое время

ГЕОМЕТРИЯ

Классическая геометрия (Древняя Греция)

Геометрия Нового времени (16-19 века)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Основатели анализа

Строгое обоснование анализа (18-19 века)

Теорема Штейнера — Лемуса утверждает, что если в треугольнике две биссектрисы равны по длине, то этот треугольник равнобедренный.

Теорема была сформулирована К. Л. Лемусом и впоследствии доказана Якобом Штейнером. Доказательство появилось в работах этих немецких геометров в XIX веке. В 1840 году Лемус упомянул теорему в письме К. Штурму, попросив найти чисто геометрическое доказательство. Штурм передал запрос другим математикам, и Штейнер был одним из первых, кто предложил решение. В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много работ, среди которых обнаружились интересные и ранее неизвестные подходы.

https://www.itmathrepetitor.ru/spravochnik-olimpiadnika-planimetri-2/

Дополнительно

Треугольник со сторонами 5, 6, 7 — остроугольный.

Это утверждение — верное ✅.

Доказать, что треугольник со сторонами 5, 6, 7 — остроугольный, можно несколькими способами.

1. Правило (следствие теоремы Пифагора):

2. Проверка через косинус наибольшего угла

Определите вид треугольников:

• 5, 12, 13

• 6, 7, 9

• 8, 15, 17

• 4, 5, 7

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. Это утверждение — верное.

Неравенство треугольника:

Для любого треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

В любом треугольнике самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других.

Здесь самая длинная сторона = 4.
Сумма двух других = 1+2=3
4<3? Нет. Значит, треугольника нет.

Полная проверка

Существует треугольник или нет:

• 3, 4, 5

• 2, 3, 6

• 5, 7, 12

• 2, 2, 3

Дополнительно:

Неравенство треугольника

Автор: Александра Пуляевская

Окружности с радиусами 5 и 7, расстояние между центрами 3 → нет общих точек. Это утверждение — неверное.

Некоторые думают:
«Если расстояние между центрами меньше меньшего радиуса, то одна окружность целиком внутри другой и общих точек нет».
Правильное рассуждение:

1. d<r → центр малой внутри большой

2. Но d>R−r → малая не целиком внутри большой, а частично выходит наружу → пересечение.

Условия взаимного расположения двух окружностей

Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности не пересекаются. Это утверждение — верное.

Для тренировки:

• R=8,r=3,d=4

• R=6,r=2,d=8

• R=10,r=4,d=6

Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра до прямой равно 2, то прямая и окружность пересекаются. Это утверждение — верное

Условия взаимного расположения прямой и окружности

Применяем к нашему случаю

R=3,d=2

2<3⇒d<R

Значит, прямая пересекает окружность в двух точках.

Для тренировки:

• R=4,d=5

• R=2.5,d=2.5

• R=6,d=4