Метод подбора
Это самый интуитивный способ, идеально подходящий для быстрого приближения.
Алгоритм:
Найдите два ближайших к вашему числу
полных квадрата
(числа, из которых корень извлекается нацело).
Корень будет находиться между корнями этих чисел.
Оцените, насколько ваше число ближе к одному квадрату, чем к другому.
Пример: Найти √50.
Ближайшие полные квадраты: 49 (7²) и 64 (8²). Значит, √50 лежит между 7 и 8.
50 - 49 = 1, а разница между квадратами 64 - 49 = 15.
Число 50 очень близко к 49, поэтому корень будет чуть больше 7. Можно оценить как 7.1.
Проверим: 7.1² = 51.41 (многовато).
Попробуем 7.05² = 49.7025 (уже ближе).
Попробуем 7.07² = 49.9849 (очень близко).
Попробуем 7.08² = 50.1264 (уже перебор).
Вывод: √50 ≈ 7.07
Метод "удвоения-деления" (упрощённый вавилонский метод)
Древний Вавилон (~1800-1600 до н.э.):
Самые ранние свидетельства использования этого алгоритма найдены на глиняных табличках, в частности на табличке YBC 7289, где вычисляется √2 с точностью до шести десятичных знаков. Вавилоняне использовали его для расчётов в архитектуре и астрономии.
Герон Александрийский (I век н.э.):
Опираясь на вавилонские источники или независимо, Герон подробно описал этот метод в своей работе «Метрика». В Европе метод стал широко известен под названием «метод Герона»
.
Применимо: Для любых чисел, быстро и с хорошей точностью.
Суть метода: Он основан на геометрической идее: если вы возьмёте прямоугольник со площадью S и сторонами n и S/n, то среднее арифметическое этих сторон даст сторону квадрата с площадью, близкой к S. Повторение процесса уточняет результат.
Быстрая оценка (метод подбора)
Исаак Ньютон (1643-1727):
Разработал общий метод решения уравнений (метод Ньютона-Рафсона). Для функции
f(x) = x² - S его метод принимает вид:
xₙ₊₁ = xₙ - (xₙ² - S)/(2xₙ) = (xₙ + S/xₙ)/2
Это в точности метод Герона
.
Брук Тейлор (1685-1731):
Формализовал идеи Ньютона в ряд Тейлора. Если взять разложение функции
f(X) = √X в точке a² и ограничиться первым членом, получится:
√X ≈ a + (X - a²)/(2a)
Это и есть формула быстрой оценки
.
Применимо: Для чисел, близких к полным квадратам.
Алгоритм:
Найдите ближайший известный квадрат.
Используйте линейную поправку.
Канадский метод
Этот метод алгебраически тождественен методу «быстрой оценки». Подставив a = √S, получим:a + (X - a²)/(2a) = √S + (X - S)/(2√S)
Пример 1: Вычисление √50
Истинное значение: √50 ≈ 7.071067811865
Быстрая оценка (a + b/2a)
a = 7 (т.к. 7² = 49 ≤ 50)
b = S - a² = 50 - 49 = 1
√50 ≈ 7 + 1/(2×7) = 7 + 1/14 ≈ 7 + 0.07142857 = 7.07142857
Погрешность: +0.00036076
Канадский метод
S = 49 (ближайший квадрат)
√50 ≈ 7 + (50 - 49)/(2×7) = 7 + 1/14 = 7.07142857
Погрешность: +0.00036076
Пример 2: Вычисление √145
Истинное значение: √145 ≈ 12.0415945788
Быстрая оценка (a + b/2a)
Берём a=10 (круглое число).
√145 ≈ 10 + (145 - 100)/20 = 10 + 45/20 = 10 + 2.25 = 12.25
Погрешность: +0.208405
Канадский метод
найти точный квадрат. 12²=144 (ближе всего к 145).
√145 ≈ 12 + (145-144)/24 = 12 + 1/24 ≈ 12 + 0.0416667 = 12.0416667
Погрешность: +0.00007209
Разложение на множители
Применимо: Если число можно упростить.
Быстрый расчёт корней от чисел, близких к 100
Корни от десятичных дробей
Практикум
