Новое Популярное

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.

Простая аналогия: Если вы каждый день откладываете одинаковую сумму денег, то ваши накопления образуют арифметическую прогрессию.

Дополнительно

Задачи

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 1995 м над уровнем моря.

Дополнительно

Розенфельд Б. А. Аполлоний Пергский. — М.: МЦНМО, 2004. — 176 с.: ил. — ISBN 5-94057-132-8: https://math.ru/lib/files/pdf/ap_of_pe.pdf

Дополнительно

1. Отношение площадей
2. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.

3. Основные свойства площадей треугольников

Дополнительно

• https://vershia.ru/wp-content/uploads/2022/01/Прогрессии.pdf
• https://www.resolventa.ru/data/metodsch/progression.pdf
• https://mathus.ru/math/msuProgress.pdf

Историческая справка

• Арифметическая прогрессия  известна с древности (египетские папирусы, вавилонские таблички).

• Геометрическая прогрессия  использовалась Архимедом для вычисления площадей.

• В Средние века прогрессии изучались в связи с банковскими расчётами (сложные проценты).

• Термин "прогрессия" ввёл римский математик  Боэций  (VI век).

Два алгебраических выражения a(х) и b(х) называются знакотождественными, если они имеют соответственно одни и те же промежутки знакоположительности, знакоотрицательности и нули.

Найти пары знакотождественных выражений а(х) и b(х) можно, основываясь на свойствах числовых неравенств. Приведём такие пары в таблице 4 (n—натуральные числа, l и с —действительные числа, u(х), v(х) и с(х) — произвольные алгебраические выражения).

Таким образом, для успешного решения неравенств методом знакотождественных множителей достаточно помнить о четырёх основных парах таких множителей:

1. разность модулей двух выражений (и вообще, разность двух выражений, неотрицательных при всех допустимых значениях переменной) и разность квадратов этих выражений;

2. разность двух корней одной степени и разность подкоренных выражений (при условии неотрицательности последних в случае корней чётной степени);

3. разность двух показательных выражений с одним и тем же числовым основанием, большим 1, и разность показателей;

4. разность двух логарифмов с одним и тем же числовым основанием, большим 1, и разность выражений под знаками логарифмов (при условии положительности этих выражений).

Примеры

Конечно же, запоминать эти системы не надо. Следует помнить лишь об основной идее решения подобных неравенств, заключающейся в переходе к основанию, большему 1, и замене разности логарифмов разностью алгебраических выражений под знаками логарифмов при естественных ограничениях на каждое из них.

Очевидно, что в ряде случаев метод знакотождественных множителей позволяет решать логарифмические неравенства с переменным основанием быстрее и эффективнее по сравнению с другими методами, предоставляя возможность сэкономить время и силы на экзамене для решения других заданий.

Дополнительно:

Задача 1

Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30◦ и 45◦ . Найдите отношение сторон параллелограмма.

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Задание 1

Ответ: 10

Ответ: 3,5

Ответ: 13

Дополнительно

• https://mathus.ru/math/sredlin.pdf
• https://dep_geometry.pnzgu.ru/files/dep_geometry.pnzgu.ru/surinaop_yakuninaov_elementarnaya_geometriya__planimetriya_pgu_2013.pdf
• https://iro23.ru/sites/default/files/2020/posobie_8_kl.-uchenik.pdf

Метод замены переменной — один из самых эффективных алгебраических приёмов для сведения сложных уравнений к квадратным.

Дополнительно

Игральные кости используются как средства генерирования случайных чисел — от 1 до 6. Их возраст составляет более 5200 лет. Игра в кости упоминается как индийская игра в Ригведе, Атхарва-веде и в списке игр Будды, в которые он не станет играть.

Согласно греческой традиции, игральные кости были изобретены Паламедом, чтобы развлечь скучающих греческих солдат, ожидающих сражения под Троей.

Происхождение и название

Своим происхождением современные игральные кости обязаны старинной игре на ловкость под названием «бабки», в которую играли преимущественно женщины и дети. Игровой процесс заключался в бросании мелких косточек копытных животных, бабок.

Четырёхгранная форма бабок стала первой формой игральной кости в истории, а используемый материал для изготовления дал название, которое мы применяем до сих пор — «кость».

Возможности применения

Что же могут игральные кости ещё, кроме работы генераторами случайных чисел?

- Если использовать несколько игральных костей, то это оптимальный способ игрового повторения сложения, вычитания, умножения и деления случайно выпавших чисел. - Также точки на игральной кости могут указывать количество букв, звуков, слогов в ищемом слове. Например: - 1 точка — 1 буква (1 согласный, 1 гласный, вообще 1 буква) или 1 слог в слове. - 2 точки — 2 буквы, 2 слога и т.д. Играть можно командами, по цепочке.

Примеры игровых заданий

1. Выполнять задания на выпавшую грань кубика. Например: - 1 — загадай загадку. - 2 — расскажи стих. - 3 — спой песенку. - 4 — отожмись 4 раза. - 5 — придумай новое слово или вспомни слово из 5 букв. - 6 — произнеси скороговорку 6 раз подряд не сбившись и т.д.

2. Выпадает: - 1 — значит на букву «о» одно существительное. - 2 — на букву «д» 2 прилагательных. - 3 — 3 глагола, каждое начиналось на букву «т». - 4 — 4 причастия. - 5 — 5 наречий. - 6 — 6 числительных.

Образовательный контекст

Мини-исследовательская работа, которую можно провести в рамках «статистики» на математике. Работать можно в парах.

Суть работы заключается в многократном выкидывании кости и последующей записи результата события. Попросить учеников провести опыт 60 раз, т.е. 60 раз выкинуть кость и обработать полученные данные в Excel (построить график).

Сравнить данные, полученные от разных пар учеников. Обсудить результаты всем классом.