Тег #алгебра сбросить

За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 16 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.

Презентация: https://www.abiturient.ru/upload/content/abiturient_ru/EGE/2017Zan17.pdf

Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом. 

Основные понятия

S — сумма кредита или вклада (в рублях)
r — процентная ставка (например, 10% → r=10 )
k = 1 + r/100 — коэффициент роста долга/вклада (например, при 10% → k=1.1 )
n — количество периодов (лет, месяцев)
x — размер платежа (если аннуитетный)
d = S/n — ежемесячное (ежегодное) погашение основного долга (для дифференцированного)

Задача 16 2026Я- в1

Задача 16 2026Я- в3

Задача 16 2026Я- в4

Задача 16 2026Я- в5

Задача 16 2026Я- в7

Задача 16 2026Я- в9

Задача 16 2026Я- в11

Задача 16 2026Я- в13

Задача 16 2026Я- в15

Задача 16 2026Я- в19

Дополнительно

• №16 из ЕГЭ 2024: https://3.shkolkovo.online/catalog/7172

• Дифференцированные платежи: плавающая ставка
• Рекомендации по подготовке к выполнению задания №16 (финансово-экономические задачи) ЕГЭ профильного уровня
• Колесникова С.И. Экономические задачи ЕГЭ / С.И. Колесникова. - М.: ООО «Азбука-2000», 2019. - 32 с. (Серия «МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ»).
• Морозов. Приемы решения экономических задач и задач прикладного характера
• Яковлев. Экономические задачи на ЕГЭ по математике

В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.).

Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.

Основная формула, связывающая работу, время и производительность:

A=P⋅t

где:

• A  — объем работы (например, "1 работа" или конкретное количество деталей),

• P  — производительность (работа в единицу времени),

• t  — время выполнения работы.

Основные понятия

• Совместная работа  — сумма производительностей.

Основные типы задач

Тип 1. Один работник выполняет работу

Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.

Задание 1

Тип 2. Два объекта работают вместе

Их производительности складываются.

Задание 2

Задание 10 2026Я - в9

Задание 10 2026Я - в19

Задание 3

Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?

Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже

Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.

Задание 4
Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?

Решение:

Задание 5
Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?

Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами

Задание 6
Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?

Решение

Задание 10 2026Я - в13

Задание 10 2026Я - в23

Задание 10 2026Я - в33

Тип 5. Задачи на бассейны и трубы

Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.

Задание 7
Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?

Задание 8

Задание 9

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?

Дано:

• Первая труба пропускает x литров воды в минуту.

• Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.

• Объём резервуара: 480 литров.

• Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая

Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:

Упростим уравнение:

Решим квадратное уравнение:

Ответ:
Первая труба пропускает 10​ литров воды в минуту.

Задание 10 2026Я - в3

Задание 10 2026Я - в21

Дополнительно:

• Выговская В.В. Сборник практических задач по математике: 6 класс. - М.: ВАКО,
  2012. - 64 с.

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2020. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020.—
  80 с

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.

Задача 10 2026Я - в1

Задача 10 2026Я - в2

Задача 10 2026Я - в7

Задача 10 2026Я - в11

Задача 10 2026Я - в15

Задача 10 2026Я - в16

Задача 10 2026Я - в25

Задача 10 2026Я - в27

Задача 10 2026Я - в31

Задача 10 2026Я - в35

Дополнительно:

• Колесникова Софья Ильинична. Текстовые задачи на движение

«Математика — абитуриенту» В.В.Ткачук

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.

Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Особенности логарифмических уравнений

1. ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.

   • Аргумент логарифма >0

   • Основание >0 и ≠1

2. При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.

3. Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.

Алгоритм решения (общий план)

1. Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).

2. Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.

3. Решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Проверить каждый корень по ОДЗ (обязательно!).

5. Выписать ответ.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшие

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 2. Потенцирование

Тип 3. Использование свойств (сумма/разность логарифмов)

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Обратить внимание на типичные ошибки

Примеры

Тип 4. Замена переменной

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 5. Уравнения с переменным основанием

Тип 6. Логарифмирование обеих частей

Применяется, когда переменная и в основании, и в показателе степени.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип. 7. Переход к новому основанию

ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Дополнительно

1. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf

2. https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf
3. https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-3.pdf
4. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf
5. https://fm11.ucoz.ru/11math4UM.pdf

6. https://mathcourse.ru/wp-content/uploads/2022/10/zadanie-6-preobrazovanie-logarifmicheskih-vyrazhenij.pdf

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.

Простая аналогия: Если вы каждый день откладываете одинаковую сумму денег, то ваши накопления образуют арифметическую прогрессию.

Дополнительно

Задачи

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 1995 м над уровнем моря.