Тег #планиметрия сбросить

Дополнительно

1. Отношение площадей
2. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.

3. Основные свойства площадей треугольников

Балаян. Э. Н. Разбор заданий

Центральным углом окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.

Балаян. Э. Н. Разбор заданий

Ответ: 2

Ответ: 6

Ответ: 16

Ответ: 1

Расстояние от O до стороны AB является радиусом вписанной окружности r для этого треугольника.

Балаян. Э. Н. Разбор заданий

Особенным образом ведут себя медиана, биссектриса и высота, проведённые к гипотенузе.

Высота разбивает прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу, то есть имеют одинаковую форму, но разные размеры. Причём эти два треугольника подобны не только друг другу, но и большому треугольнику тоже.

Биссектриса является не только биссектрисой самого треугольника, но и биссектрисой маленького треугольника, ограниченного медианой и высотой.

Задачи из ФИПИ

Номер: 47BD49

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке
5. Справочник по планиметрии от «Школково»

6. matem-teoriya-treugolnik.pdf

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Задача 1

.

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 60. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐸. Ответ: 15

Задача 2

Ответ: 9

Задача 3

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷.

1. Анализ условия

В параллелограмме ABCD сказано:

диагонали делят его углы пополам

В параллелограмме диагонали не являются биссектрисами углов (кроме частных случаев). Для параллелограмма диагонали делят углы пополам только если это ромб.

Задача 4

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴⁢𝐵 =35, 𝐴⁢𝐶 =42. Найдите 𝐵⁢𝐷.

1. Понимание фигуры

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов. Такое возможно только в ромбе (в общем параллелограмме диагонали не делят углы пополам).

Задача 5

Большая сторона = 14.7.

Задача 6

В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, пересекаются на противоположной стороне тогда и только тогда, когда большая сторона в два раза больше меньшей.

Решение: 2*(x+2x)= 15 , 6х=15, х=2,5. Ответ: 2,5.

Задача 7

Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.

Частный случай — прямоугольник. Если d1​=d2​, то параллелограмм является прямоугольником. В этом случае теорема сводится к двум применениям теоремы Пифагора.

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Практикум

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Задание 13

Задание 14

Задание 15

Дополнительно:

Дополнительно

Розенфельд Б. А. Аполлоний Пергский. — М.: МЦНМО, 2004. — 176 с.: ил. — ISBN 5-94057-132-8: https://math.ru/lib/files/pdf/ap_of_pe.pdf

Задача 1

Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30◦ и 45◦ . Найдите отношение сторон параллелограмма.

Дополнительно