Тег #планиметрия сбросить

Определение: четырёхугольник называется описанным, если все его стороны касаются одной окружности. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник.

Задача 1

Ответ: 27*2=54

Задача 2

Задача 3

Задача 4

AB + CD=36:2

CD=18-7=11

Задача 5

10+14=8+DA

DA=24−8=16

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задача 1

а) Угол A четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 59°. Найдите угол C этого четырёхугольника.

б) Угол B четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 87°. Найдите угол D этого четырёхугольника.

Задача 2

Ответ: 16+12=28

Задача 3

Около трапеции описана окружность → трапеция равнобедренная (только у равнобедренной трапеции есть описанная окружность).

38-(11*2)=16, 16:2=8.

Задача 4

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

Вписанные и описанные четырехугольники

Что такое высота треугольника?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение).

Свойства высот:

Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре (точка H).

В геометрии, когда говорят об угле между двумя пересекающимися прямыми, всегда имеют в виду острый (или прямой) угол — то есть угол от 0° до 90° включительно. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

Тупой угол равен 180 - ∠B, где ∠B — угол при вершине B треугольника. 

3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Задача 1.

В равностороннем треугольнике АВС найдите величину острого угла между его высотами.

В равностороннем треугольнике высоты (прямые линии) пересекаются, образуя два угла:

• Острый угол = 60° (так как треугольник равносторонний, все углы при вершинах равны =60)

• Тупой угол = 180-60=120°

Согласно правилу (выбираем меньший угол), углом между прямыми (высотами) будет 60°

Ответ: 60

Задача 2.

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65 и BD, CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Угол DOE: DOE=180-65=115

Задача 3.

Два угла треугольника равны 58 и 72 . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах

180-(58+72)=50

180-50=130.

В треугольнике ABC из вершины A проведены:

• Высота AH (перпендикуляр к стороне BC)

• Биссектриса AL (делит угол A пополам)

Утверждение: Угол между высотой и биссектрисой равен полуразности двух других углов треугольника.

Задача 1

Решение:

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180∘

Задача 2

Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180∘

Углы BAD и BCD — противоположные (вершины A и C).

Задача 3

Если трапеция ABCD вписана в окружность, то она равнобедренная.
Это ключевое свойство: около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

Задача 4

Ответ: 148

Задача 5

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Задача 1

Ответ:12

Ответ:3

Ответ: 23

Задача 1

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки часов в 19:00? Ответ дайте в градусах.

Алгоритм:

1. Разбить циферблат:

   • Полный круг = 360°

   • Между соседними часами = 360° / 12 = 30°

   • Между соседними минутами = 360° / 60 = 6°

2. Определить положение стрелок:

   • Часовая стрелка:  за каждый час смещается на 30° от отметки «12». В 19:00 часовая стрелка ровно на цифре 7.

     Отсчёт от 12:  7 часов × 30° = 210°  от верхней точки.

   • Минутная стрелка:  в 00 минут — на цифре 12, то есть 0° от верхней точки.

3. Найти разницу углов:

   • Угол часовой = 210° (от 12 по часовой)

   • Угол минутной = 0°

   • Разница:  |210° − 0°| = 210°

4. Выбрать меньший угол между стрелками (т.к. угол между стрелками ≤ 180°):
   Если разность > 180°, вычесть из 360°.
   210° > 180° ⇒ меньший угол = 360° − 210° = 150°

Решение:

• Часовая: 7 × 30 = 210°

• Минутная: 0°

• Разность = 210°

• 210° > 180° ⇒ угол = 360 − 210 = 150°

Ответ: 150°

От 12 до 7 — 7 делений циферблата (210° по часовой). Минутная на 12, разница 210°, но меньший путь через 11, 10... — 150°.

Задача 2

В колесе углы между соседними спицами равны. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 30°?

Дано:
Угол между соседними спицами = 30°.
Найти количество спиц.

Решение:

1. Полный круг = 360°.

2. Полный круг делится на равные углы.

3. Количество спиц = полный круг / угол между соседними спицами:
   n=360°​/30°
   n=12

Ответ: 12 спиц

Рассмотрим тип задач с применением теоремы Пифагора.

"Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах."

Мы имеем:

• Лестница  длиной 13 м — это  гипотенуза  прямоугольного треугольника.

• Расстояние от нижнего конца лестницы до стены  5 м — это  один катет  (прилегающий к земле).

• Высота, на которой лестница касается стены  — это  второй катет  (противолежащий к стене), который нам нужно найти.

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник, где

• Гипотенуза c=13

• Катет a =5 м

• Катет b=? м (высота)

Земля и стена перпендикулярны друг другу.

Применяем теорему Пифагора

Формула: a² + b² = c²

Подставляем известные значения:
5² + b² = 13²

Вычисляем

25 + b² = 169

b² = 169 − 25

b² = 144

b = √144

b = 12 (так как длина положительна)

Ответ: 12 метров

Задача 2

На расстоянии 12 метров от дома вкопали столб высотой 7 метров. От вершины столба к стене дома протянули кабель и закрепили его на высоте 2 метра от земли. Найдите длину кабеля в метрах

Дано:
Расстояние от столба до дома: 12 м
Высота столба: 7 м
Высота крепления на доме: 2 м
Найти длину кабеля d.

Вертикальный катет: 7 − 2 = 5 м
Горизонтальный катет: 12 м

По теореме Пифагора:
d² = 12² + 5²
d² = 144 + 25
d² = 169
d = √169
d = 13

Ответ: 13 м

Алгоритм для подобных задач

1. Определить прямоугольный треугольник  в задаче.

2. Гипотенуза (c)  — обычно лестница, трос, наклонная плоскость.

3. Катеты (a и b)  — горизонтальное и вертикальное расстояния.

4. Записать: a² + b² = c²

5. Подставить известные числа , найти неизвестное.

6. Дать ответ с единицами измерения.

Дополнительно:

Задача

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,55 м, а наибольшая высота h2 равна 2,55 м. Ответ дайте в метрах.

Условие:
Перила — наклонная линия (боковая сторона трапеции).
Нижняя высота h1 = 1,55 м.
Верхняя высота h2 = 2,55 м.
Столб стоит вертикально посередине перил по длине.
Найти высоту столба l.

Алгоритм решения:

1. Вспомнить формулу средней линии трапеции: Средняя линия = (основание1 + основание2) / 2.

2. Подставить данные: l = (h1 + h2) / 2.

3. Вычислить  и дать ответ в метрах.

Решение:

h1 = 1,55 м
h2 = 2,55 м
l = (h1 + h2) / 2
l = (1,55 + 2,55) / 2
l = 4,10 / 2
l = 2,05

Ответ: 2,05 м