Тег #планиметрия сбросить

Способ 1. Самый популярный — теорема косинусов

Это основной и надежный метод. Он работает всегда, если известны длины всех трех сторон.

Формула

Пусть в треугольнике стороны равны a,b,c.
Требуется найти косинус угла α, лежащего напротив стороны a.

Важно запомнить:
В числителе складываются квадраты сторон, образующих угол, а вычитается квадрат противолежащей стороны.

Способ 2. Если заданы координаты вершин — используем векторы

Часто треугольник задан не длинами сторон, а координатами точек A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3).
Тогда косинус угла при вершине A (угол BAC) удобно находить через скалярное произведение векторов.

Способ 3. Частный случай — прямоугольный треугольник

Если вы точно знаете, что треугольник прямоугольный, то косинус острого угла находится элементарно.

⚠️ Важно:
Этот способ не работает для произвольного треугольника. Если треугольник не прямоугольный — используйте способ 1 или 2.

Способ 4. Если известны площадь и две стороны

Иногда в условии даны две стороны b и c и площадь S, а угол α между ними неизвестен.
Тогда алгоритм такой:

⚠️ Важнейший нюанс

Знак «плюс» или «минус» зависит от того, острый угол (α<90) или тупой (α>90).

• Если угол острый → cos⁡α>0

• Если тупой → cos⁡α<0

Без дополнительных данных задача имеет два решения.

Задача 1

Ответ: 32

Задача 2

Ответ: 66

∠ABD=∠ABC−∠CBD. ∠CBD= ∠CAD.

Подставляем:

∠ABD=103∘−42∘=61∘.

Ответ: 98

Ответ: 77

Задача 3

Решение: 90-9=81

Задача 4

Решение: 59:2=29,5

Задача 5

Решение: 169-144=25, АС=5

Ответ: 24

Ответ: 46

Ответ: 20,5

Ответ: 2

Ответ:0,4

Ответ: 0,3

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Ответ: (42+38)/2=40

Ответ:

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:

 ∼ противоположные стороны попарно равны;

∼ диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теоремы: свойства прямоугольника

1) Все углы прямоугольника прямые.

 2) Диагонали прямоугольника равны

Следствие

Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. OA=OB=OC=OD.

 Теоремы: признаки прямоугольника

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

 2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Ответ: 4

Ответ:8

Ответ:3,2

Ответ:196

Ответ: 3

Ответ:8

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Если биссектрисы углов А и C треугольника ABC пересекаются в точке О, то ∠АОC = 90◦ + ∠В/2.

или 90+74/2=90+37=127

Дополнительно

Теорема о сумме углов треугольника и её следствия: основные свойства и формулы

Теорема о сумме углов треугольника Формулировка: сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Следствия и связанные свойства Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. В прямоугольном треугольнике…

Автор: Александра Пуляевская

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

 Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:

 ∼ противоположные углы ромба попарно равны;

∼ соседние углы ромба в сумме дают 180∘;

∼ диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 Теорема: свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

  Теорема: признаки ромба

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.

 2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.

 3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.

Задача 1

Решение

ОС=12:2=6

BO/OC=4/3

DO=4*6/3=8

BC=10

r=12*16/4*10=4,8

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике