1. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет равна 5? 2. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет больше или равна 7? 3. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет чётной?
Задание 2
Мы подбросили монетку два раза. Тем самым, возможные исходы это: оо, ор, ро, рр (орёл это ”о”, решка это ”р”). Будем считать все исходы равновероятными. 1. Известно, что выпал хотя бы один орёл. Какова вероятность того, что выпало два орла? 2. Известно, что выпал хотя бы один орёл. Какова вероятность того, что выпал сначала орёл, а затем решка? 3. Известно, что выпали два разных значения. Какова вероятность того, что выпал сначала орёл, а затем решка? 4. Известно, что выпало два орла. Какова вероятность того, что выпал хотя бы один орёл?
Задание 3
В колоде 52 карты. Есть 4 масти: пики, крести, бубны, черви. В каждой масти 13 различных номинаций: 2, 3, . . . , 10, валет, дама, король, туз. 1. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта. Независимы ли события ”вытянули валета” и ”вытянули пику”? 2. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта. Независимы ли события ”вытянули валета” и ”вытянули туз”?
Задание 4
В колоде 52 карты. Есть 4 масти: пики, крести, бубны, черви. В каждой масти 13 различных номинаций: 2, 3, . . . , 10, валет, дама, король, туз. 1. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна. Независимы ли события ”первая карта это король” и ”вторая карта это крести”? 2. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна. Независимы ли события ”первая карта это король” и ”вторая карта это десятка”?
В одной урне лежат 5 белых и 10 красных шаров, в другой урне – 10 белых и 5 красных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров ‒ белый.
Пусть событие А – из первой урны вынут белый шар, событие B - из второй урны вынут белый шар. Решим задачу двумя способами.
Задание 6
В урне лежат 12 белых, 8 красных и 10 синих шаров. Не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что вынуты шары разных цветов, если известно, что среди них не оказалось синего шара?
Событие А – вынуты два шара разных цветов; событие B - пара не содержит синий шар. Нас интересует условная вероятность события А при условии, что событие B произошло.
Задание 7
Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза выпадет герб.
Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.
Задание 9
Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 12».
1. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет равна 5? 2. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет больше или равна 7? 3. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет чётной?
Задание 2
Мы подбросили монетку два раза. Тем самым, возможные исходы это: оо, ор, ро, рр (орёл это ”о”, решка это ”р”). Будем считать все исходы равновероятными. 1. Известно, что выпал хотя бы один орёл. Какова вероятность того, что выпало два орла? 2. Известно, что выпал хотя бы один орёл. Какова вероятность того, что выпал сначала орёл, а затем решка? 3. Известно, что выпали два разных значения. Какова вероятность того, что выпал сначала орёл, а затем решка? 4. Известно, что выпало два орла. Какова вероятность того, что выпал хотя бы один орёл?
Задание 3
В колоде 52 карты. Есть 4 масти: пики, крести, бубны, черви. В каждой масти 13 различных номинаций: 2, 3, . . . , 10, валет, дама, король, туз. 1. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта. Независимы ли события ”вытянули валета” и ”вытянули пику”? 2. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта. Независимы ли события ”вытянули валета” и ”вытянули туз”?
Задание 4
В колоде 52 карты. Есть 4 масти: пики, крести, бубны, черви. В каждой масти 13 различных номинаций: 2, 3, . . . , 10, валет, дама, король, туз. 1. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна. Независимы ли события ”первая карта это король” и ”вторая карта это крести”? 2. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна. Независимы ли события ”первая карта это король” и ”вторая карта это десятка”?
В одной урне лежат 5 белых и 10 красных шаров, в другой урне – 10 белых и 5 красных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров ‒ белый.
Пусть событие А – из первой урны вынут белый шар, событие B - из второй урны вынут белый шар. Решим задачу двумя способами.
Задание 6
В урне лежат 12 белых, 8 красных и 10 синих шаров. Не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что вынуты шары разных цветов, если известно, что среди них не оказалось синего шара?
Событие А – вынуты два шара разных цветов; событие B - пара не содержит синий шар. Нас интересует условная вероятность события А при условии, что событие B произошло.
Задание 7
Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза выпадет герб.
Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.
Задание 9
Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 12».
Формула Пика — это удобный инструмент для вычисления площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах целочисленной решётки. Её открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 году. Хотя изначально эта работа не получила широкого признания, к середине XX века формула стала активно применяться в математическом образовании и задачах комбинаторной геометрии.
Георг Пик был разносторонним учёным, опубликовавшим труды по алгебре, анализу и геометрии. Однако именно формула, предлагающая простой способ расчёта площадей на клетчатой бумаге, принесла ему мировую известность.
Формула Пика позволяет находить площадь любого многоугольника, все вершины которого лежат в узлах квадратной решётки, то есть имеют целочисленные координаты. Это ключевое ограничение: если хотя бы одна вершина не попадает в узел, формула неприменима.
Метод особенно полезен для многоугольников сложной формы, где традиционные геометрические формулы требуют громоздких вычислений. Он основан на подсчёте двух типов точек: узлов решётки, лежащих строго внутри фигуры, и узлов, расположенных на её границе.
Как работает формула Пика
Формула записывается следующим образом:
S = I + B/2 – 1
Где:
S — площадь многоугольника.
I — количество узлов решётки, находящихся строго внутри фигуры.
B — количество узлов решётки, лежащих на границе многоугольника (включая вершины).
Это соотношение позволяет быстро получить результат, избегая сложных алгебраических преобразований. Оно демонстрирует глубокую связь между геометрией и комбинаторикой.
Дополнительно
Если вы хотите узнать больше о формуле Пика и её применениях, рекомендуем следующие ресурсы:
Формула Пика — это удобный инструмент для вычисления площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах целочисленной решётки. Её открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 году. Хотя изначально эта работа не получила широкого признания, к середине XX века формула стала активно применяться в математическом образовании и задачах комбинаторной геометрии.
Георг Пик был разносторонним учёным, опубликовавшим труды по алгебре, анализу и геометрии. Однако именно формула, предлагающая простой способ расчёта площадей на клетчатой бумаге, принесла ему мировую известность.
Формула Пика позволяет находить площадь любого многоугольника, все вершины которого лежат в узлах квадратной решётки, то есть имеют целочисленные координаты. Это ключевое ограничение: если хотя бы одна вершина не попадает в узел, формула неприменима.
Метод особенно полезен для многоугольников сложной формы, где традиционные геометрические формулы требуют громоздких вычислений. Он основан на подсчёте двух типов точек: узлов решётки, лежащих строго внутри фигуры, и узлов, расположенных на её границе.
Как работает формула Пика
Формула записывается следующим образом:
S = I + B/2 – 1
Где:
S — площадь многоугольника.
I — количество узлов решётки, находящихся строго внутри фигуры.
B — количество узлов решётки, лежащих на границе многоугольника (включая вершины).
Это соотношение позволяет быстро получить результат, избегая сложных алгебраических преобразований. Оно демонстрирует глубокую связь между геометрией и комбинаторикой.
Дополнительно
Если вы хотите узнать больше о формуле Пика и её применениях, рекомендуем следующие ресурсы:
