Тег #тригонометрия сбросить

Общий алгоритм для любого отрезка [a; b]:

1. Записать общее решение уравнения.

2. Для каждой серии решений с параметром n:

   • Составить двойное неравенство: a ≤ (формула с n) ≤ b

   • Решить это неравенство относительно n.

   • Найти все целые  n, удовлетворяющие неравенству.

   • Для каждого такого n вычислить x.

3. Объединить все найденные x из всех серий.

4. Проверить, что каждый x действительно лежит в [a; b] (иногда при округлении могут быть ошибки).

5. Упорядочить корни по возрастанию.

Важно: Если отрезок большой (длина > 2π), то в каждой серии может быть несколько подходящих n. Если отрезок маленький, корней может не быть вообще!

2. Подробный разбор на примере

Решить sin x = 1/2 и выбрать корни на [-2π; -π]

Шаг 1: Общее решение
x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn

Шаг 2: Первая серия x = π/6 + 2πn
Нужно: -2π ≤ π/6 + 2πn ≤ -π
-2π - π/6 ≤ 2πn ≤ -π - π/6
-13π/6 ≤ 2πn ≤ -7π/6
-13/12 ≤ n ≤ -7/12 ≈ -0.583...

Целое n: n = -1
x = π/6 - 2π = -11π/6 ≈ -5.76
Проверяем: -6.283 ≤ -5.76 ≤ -3.14 ✓

Шаг 3: Вторая серия x = 5π/6 + 2πn
Нужно: -2π ≤ 5π/6 + 2πn ≤ -π
-2π - 5π/6 ≤ 2πn ≤ -π - 5π/6
-17π/6 ≤ 2πn ≤ -11π/6
-17/12 ≤ n ≤ -11/12 ≈ -0.916...

Целое n: n = -1
x = 5π/6 - 2π = -7π/6 ≈ -3.665
Проверяем: -6.283 ≤ -3.665 ≤ -3.14 ✓

Ответ: x₁ = -11π/6, x₂ = -7π/6

Тригонометрическое неравенство — это неравенство, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции. Решение таких неравенств основано на свойствах периодичности, монотонности и графиков функций.

Дополнительно

Галеев Э.М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Тригонометрия. ссылка

На единичной окружности даны две точки. Известно, что их ординаты (координаты y) равны. Требуется найти общую формулу для записи всех действительных чисел (углов), которые соответствуют этим двум точкам.

На единичной окружности координаты точки задаются уравнениями: x=cos ⁡t, y=sin⁡ t. Если у двух точек одинаковые ординаты, значит: sin⁡ t1=sin ⁡t2​.

Геометрически это означает, что точки расположены симметрично относительно вертикальной оси (оси Oy).

• Если одна точка находится в правой полуплоскости (абсцисса положительна), то вторая — в левой полуплоскости (абсцисса отрицательна).

• Ординаты (y) при этом одинаковы.

Рассмотрим произвольный угол α, задающий точку Pα​ в правой полуплоскости.

• Точка Pt  — это исходная точка. Ей соответствует угол α.

• Точка Pπ −t  — это точка, симметричная исходной относительно оси Oy. Ей соответствует угол π−α  (или π−α+2πn в общем виде).

Почему именно π−α?
Вспомним формулы приведения:

sin⁡(π−α)=sin⁡α, cos⁡(π−α)=−cos⁡α

Таким образом, ординаты совпадают, а абсциссы противоположны.

Длина всей окружности (в радианной мере) равна 2π. Если мы разделим окружность на nn равных частей, то центральный угол между двумя соседними точками деления будет равен: 2π/n.

Стандартный случай: начало отсчета в точке (1; 0)

Общий случай: произвольное начало α

https://study.tinpul.ru/trigonometricheskie-neravenstva/