Тег #углы сбросить

Дополнительно

1. okruzhnost.pdf

2. matem-teoriya-okruzhnost-krug.pdf

Обычно положение точки на единичной окружности задается углом α, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси Ox (оси абсцисс).

• Углы измеряются в радианах или градусах.

• Положительное направление — против часовой стрелки .

Точке, полученной поворотом на угол α, ставят в соответствие это число α.

Однако, поскольку окружность замкнута, одной и той же точке соответствует бесконечное множество чисел (углов), отличающихся друг от друга на полный оборот (2π радиан или 360).

Диаметрально противоположные точки — это две точки на окружности, которые соединены отрезком, проходящим через центр окружности (то есть лежат на одном диаметре). Расстояние между ними по дуге составляет ровно половину окружности.

Если одна точка задана углом α, то диаметрально противоположная ей точка будет задаваться углом α+π (или α+180), так как π радиан — это половина окружности.

На единичной окружности даны две точки. Известно, что их абсциссы (координаты x) равны. Нужно найти общую формулу для записи всех действительных чисел (углов), которые соответствуют этим двум точкам.

На единичной окружности координаты точки задаются уравнениями: x=cos⁡ t, y=sin ⁡t. Если у двух точек одинаковые абсциссы, значит: cos⁡ t1=cos ⁡t2

Геометрически это означает, что точки расположены симметрично относительно горизонтальной оси (оси Ox). Если одна точка находится в верхней полуплоскости (ордината положительна), то вторая — в нижней полуплоскости (ордината отрицательна), и наоборот.

Исключение: точки на самом верху или внизу окружности (углы π2​ и 3π/2​) — там абсциссы равны 0, но это частный случай, который тоже подчиняется общей формуле.

Возьмём произвольный угол α, задающий точку Pα​ в верхней полуплоскости:

Точка Pt — это исходная точка. Ей соответствует угол α.

Точка P−t​ — это точка, симметричная исходной относительно оси Ox. Ей соответствует угол −α (или 2π−α, если брать положительное направление).

Почему именно −α?
Потому что косинус — чётная функция: cos⁡(−α)=cos⁡α. Синус — нечётная функция: sin⁡(−α)=−sin⁡α. Таким образом, абсциссы совпадают, а ординаты противоположны.

Способ 1. Самый популярный — теорема косинусов

Это основной и надежный метод. Он работает всегда, если известны длины всех трех сторон.

Формула

Пусть в треугольнике стороны равны a,b,c.
Требуется найти косинус угла α, лежащего напротив стороны a.

Важно запомнить:
В числителе складываются квадраты сторон, образующих угол, а вычитается квадрат противолежащей стороны.

Способ 2. Если заданы координаты вершин — используем векторы

Часто треугольник задан не длинами сторон, а координатами точек A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3).
Тогда косинус угла при вершине A (угол BAC) удобно находить через скалярное произведение векторов.

Способ 3. Частный случай — прямоугольный треугольник

Если вы точно знаете, что треугольник прямоугольный, то косинус острого угла находится элементарно.

⚠️ Важно:
Этот способ не работает для произвольного треугольника. Если треугольник не прямоугольный — используйте способ 1 или 2.

Способ 4. Если известны площадь и две стороны

Иногда в условии даны две стороны b и c и площадь S, а угол α между ними неизвестен.
Тогда алгоритм такой:

⚠️ Важнейший нюанс

Знак «плюс» или «минус» зависит от того, острый угол (α<90) или тупой (α>90).

• Если угол острый → cos⁡α>0

• Если тупой → cos⁡α<0

Без дополнительных данных задача имеет два решения.

Задача 1

Ответ: 32

Задача 2

Ответ: 66

∠ABD=∠ABC−∠CBD. ∠CBD= ∠CAD.

Подставляем:

∠ABD=103∘−42∘=61∘.

Ответ: 98

Ответ: 77

Задача 3

Решение: 90-9=81

Задача 4

Решение: 59:2=29,5

Задача 5

Решение: 169-144=25, АС=5

Ответ: 24

Ответ: 46

Ответ: 20,5

Ответ: 2

Ответ:0,4

Ответ: 0,3

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Ответ: (42+38)/2=40

Ответ:

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Если биссектрисы углов А и C треугольника ABC пересекаются в точке О, то ∠АОC = 90◦ + ∠В/2.

или 90+74/2=90+37=127

Дополнительно

Теорема о сумме углов треугольника и её следствия: основные свойства и формулы

Теорема о сумме углов треугольника Формулировка: сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Следствия и связанные свойства Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. В прямоугольном треугольнике…

Автор: Александра Пуляевская

Формулировка: сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Следствия и связанные свойства

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов составляет 180° − 90° = 90°. 

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Их сумма — 90°, значит, каждый угол равен 45°.

3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°. Все углы равны, поэтому каждый угол составляет 180° : 3 = 60°. 

4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой. Это следует из того, что сумма углов не может превышать 180°.

5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Внешний угол — это угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Его величина равна сумме двух других внутренних углов.

6. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2). Формула выводится из разбиения n-угольника на треугольники. 

7. Сумма внешних углов n-угольника равна 360°. Внешний угол при каждой вершине — это угол, смежный с внутренним. Сумма всех внешних углов (по одному при каждой вершине) всегда составляет 360°. 

8. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые. Это свойство связано с взаимным расположением сторон углов. 

9. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°. Биссектрисы делят смежные углы пополам, а их сумма равна 180°, поэтому угол между биссектрисами — 90°.

10. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны. Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей в сумме дают 180°. Биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому угол между ними — 90°. 

11. Если биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке M, то ∠BMC = 90° + ½∠A.

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Это следствие из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника. 

• В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Это неравенство треугольника. 

• Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. И наоборот: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе. 

Системы заданий.

Пособия