Преобразование многочленов: формулы и примеры с решениями

Упрощение выражений (раскрытие скобок)

Задача: Представить выражение в виде многочлена стандартного вида.

Пример 1: (3x + 4y)²

Решение: Используем формулу квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- a = 3x, b = 4y
- (3x)² + 2 * (3x) * (4y) + (4y)² = 9x² + 24xy + 16y²

Пример 2: (2a² - 5b)³

Решение: Используем формулу куба разности: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
- a = 2a², b = 5b
- (2a²)³ - 3 * (2a²)² * (5b) + 3 * (2a²) * (5b)² - (5b)³ = 8a⁶ - 3 * 4a⁴ * 5b + 3 * 2a² * 25b² - 125b³ = 8a⁶ - 60a⁴b + 150a²b³ - 125b³

Разложение на множители (факторизация)

Это обратная операция, самая важная и частая в заданиях.

Задача: Разложить выражение на множители.

Пример 3: 16m⁴ - 81n⁸

Решение: Видим разность квадратов: (4m²)² - (9n⁴)²
- Используем формулу: a² - b² = (a - b)(a + b)
- a = 4m², b = 9n⁴
- (4m² - 9n⁴)(4m² + 9n⁴)
- Замечаем, что первую скобку можно разложить дальше: (2m)² - (3n²)²
- Окончательный ответ: (2m - 3n²)(2m + 3n²)(4m² + 9n⁴)

Пример 4: 27x⁶ + y³

Решение: Видим сумму кубов: (3x²)³ + (y)³
- Используем формулу: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- a = 3x², b = y
- (3x² + y)((3x²)² - (3x²)(y) + y²) = (3x² + y)(9x⁴ - 3x²y + y²)

Пример 5: a² - 10a + 25

Решение: Узнаём формулу квадрата разности: a² - 2*a*5 + 5²
- Ответ: (a - 5)²

Вычисление числовых выражений

Задача: Вычислить рациональным способом.

Пример 6: Вычислить 99²

Решение: 99² = (100 - 1)² = 100² - 2*100*1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801

Пример 7: Вычислить 43² - 37²

Решение: Используем формулу разности квадратов.
- 43² - 37² = (43 - 37)(43 + 37) = 6 * 80 = 480

Доказательство тождеств и делимости

Задача: Доказать, что выражение кратно какому-то числу.

Пример 8: Доказать, что (n + 5)² - (n - 3)² кратно 16 для любого натурального n.

Решение:
1. Упростим выражение, используя ФСУ.
  (n + 5)² - (n - 3)² = (по формуле a² - b²)
  = ((n + 5) - (n - 3)) * ((n + 5) + (n - 3)) =
  = (n + 5 - n + 3) * (n + 5 + n - 3) =
  = (8) * (2n + 2) = 8 * 2(n + 1) = 16(n + 1)
2. В результате получили 16(n + 1). Очевидно, что это произведение делится на 16 при любом целом n.
- Что и требовалось доказать.

Комбинированные задания

Пример 9: Упростить выражение (x - 2)³ - (x - 3)(x² + 3x + 9)

Решение:
1. Раскрываем первую часть по формуле куба разности:
  (x - 2)³ = x³ - 3*x²*2 + 3*x*4 - 8 = x³ - 6x² + 12x - 8
2. Во второй части узнаём формулу разности кубов:
  (x - 3)(x² + 3x + 9) = x³ - 3³ = x³ - 27
3. Подставляем результаты в исходное выражение:
  (x³ - 6x² + 12x - 8) - (x³ - 27) = x³ - 6x² + 12x - 8 - x³ + 27 = -6x² + 12x + 19
- Ответ: -6x² + 12x + 19

Пример 10: Решить уравнение x² - 36 = 0

Решение: Вместо дискриминанта используем разность квадратов.
- x² - 36 = 0
- (x - 6)(x + 6) = 0
- Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
  x - 6 = 0 => x = 6
  x + 6 = 0 => x = -6
- Ответ: -6; 6

Алгоритм действий для успешного решения:

Узнай формулу. Внимательно посмотри на выражение. Напоминает ли оно одну из ФСУ? Есть ли здесь квадраты, кубы, разность или сумма?
Определи, «a» и «b». Что в твоём примере играет роль a и b? Часто это не просто переменная, а целое выражение (например, 2a² или 5b³).
Действуй по формуле. Аккуратно подставь свои a и b в нужную формулу. Внимание на знаки и коэффициенты!
Упрости результат. Приведи подобные слагаемые, если они есть.
Проверь себя. Можно мысленно раскрыть скобки в полученном ответе и убедиться, что получилось исходное выражение.

Примеры: Преобразование многочленов

Задание	Ответ	Решение и комментарии
1. Привести к стандартному виду: `3p⁴ – 5p³ + 2p⁴ – 4p³`	`5p⁴ - 9p³`	Сгруппируем и сложим подобные члены: `(3p⁴ + 2p⁴) + (-5p³ - 4p³) = 5p⁴ - 9p³` 2.
2. Привести к стандартному виду: `2a·a² – 3a·a + 4a²·a – 8a²`	`2a³ - 3a² + 4a³ - 8a² = 6a³ - 11a²`	Упростим каждое произведение: `2a³ - 3a² + 4a³ - 8a²`. Затем сложим подобные: `(2a³ + 4a³) + (-3a² - 8a²) = 6a³ - 11a²` 2.
3. Определить степень многочлена: `3х⁵ – 5х⁷ + 8 + 4х`	`7`	Наивысшая степень среди одночленов — `7` (у члена `-5x⁷`) 2.
4. Упростить: `(6х² – 7х + 4) – (4х² – 4х + 18)`	`2x² - 3x - 14`	Раскроем скобки: `6x² - 7x + 4 - 4x² + 4x - 18`. Сложим подобные: `(6x² - 4x²) + (-7x + 4x) + (4 - 18) = 2x² - 3x - 14` 2.
5. Упростить: `(3х + 9) + (–х² – 15х – 40)`	`-x² - 12x - 31`	Раскроем скобки: `3x + 9 - x² - 15x - 40`. Сложим подобные: `-x² + (3x - 15x) + (9 - 40) = -x² - 12x - 31` 2.
6. Упростить: `(10а² – 6а + 5) – (–11а + а² + 6)`	`9a² + 5a - 1`	Раскроем скобки: `10a² - 6a + 5 + 11a - a² - 6`. Сложим подобные: `(10a² - a²) + (-6a + 11a) + (5 - 6) = 9a² + 5a - 1` 2.
7. Упростить: `(14ав² – 17ав + 5а²в) + (20ав – 4а²в)`	`14ab² + 3ab + a²b`	Сложим подобные члены: `14ab² + (-17ab + 20ab) + (5a²b - 4a²b) = 14ab² + 3ab + a²b` 2.
8. Выполнить умножение: `2х(х² + 8х – 3)`	`2x³ + 16x² - 6x`	Умножим каждый член в скобках на `2x`: `2x·x² + 2x·8x + 2x·(-3) = 2x³ + 16x² - 6x` 2.
9. Выполнить умножение: `–3а(а² + 2ав – 5в)`	`-3a³ - 6a²b + 15ab`	Умножим каждый член в скобках на `-3a`: `-3a·a² + (-3a)·2ab + (-3a)·(-5b) = -3a³ - 6a²b + 15ab` 2.
10. Разложить на множители: `x² - 10x + 25`	`(x - 5)²`	Это квадрат разности: `x² - 2·x·5 + 5² = (x - 5)²` 4.
11. Разложить на множители: `49c² – 25x²`	`(7c - 5x)(7c + 5x)`	Это разность квадратов: `(7c)² - (5x)² = (7c - 5x)(7c + 5x)` 4.
12. Разложить на множители: `8(x - 1) + (x - 1)²`	`(x - 1)(x + 7)`	Вынесем общий множитель `(x - 1)`: `(x - 1)[8 + (x - 1)] = (x - 1)(x + 7)` 7.
13. Разложить на множители: `xy - 6 + 3x - 2y`	`(x - 2)(y + 3)`	Сгруппируем: `(xy - 2y) + (3x - 6) = y(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(y + 3)` 7.
14. Решить уравнение: `x² + 7x + 12 = 0`	`x = -3; x = -4`	Разложим на множители: `(x + 3)(x + 4) = 0`. Корни: `x = -3`, `x = -4` 7.
15. Решить уравнение: `x² – 4x – 5 = 0`	`x = -1; x = 5`	Разложим на множители: `(x + 1)(x - 5) = 0`. Корни: `x = -1`, `x = 5` 7.
16.Упростить: `(4у - 3х)(3х + 4у)`	`16y² - 9x²`	Это разность квадратов: `(4y)² - (3x)² = 16y² - 9x²` 1.
17. Упростить: `(3x + a)²`	`9x² + 6ax + a²`	Квадрат суммы: `(3x)² + 2·3x·a + a² = 9x² + 6ax + a²` 1.
18. Упростить: `(6a² – 9c)²`	`36a⁴ - 108a²c + 81c²`	Квадрат разности: `(6a²)² - 2·6a²·9c + (9c)² = 36a⁴ - 108a²c + 81c²` 1.
19. Вычислить: `106² - 6²`	`11200`	По формуле разности квадратов: `(106 - 6)(106 + 6) = 100 · 112 = 11200` 4.
20. Вычислить: `71² - 61²`	`1320`	Разность квадратов: `(71 - 61)(71 + 61) = 10 · 132 = 1320` 4.
21. Выделить полный квадрат: `x² + 2x + 2`	`(x + 1)² + 1`	`x² + 2x + 1 + 1 = (x + 1)² + 1` 3.
22. Выделить полный квадрат: `4x² + 16x + 19`	`(2x + 4)² + 3`	`4x² + 16x + 16 + 3 = (2x + 4)² + 3` 3.
23. Сократить дробь: `(x² - 4x - 12) / (x² + xy - 6y - 6x)`	`(x - 6) / (x - y)`	Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: `x² - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)`. Знаменатель: `(x² - 6x) + (xy - 6y) = x(x - 6) + y(x - 6) = (x - 6)(x + y)`. Дробь: `[(x - 6)(x + 2)] / [(x - 6)(x + y)] = (x + 2)/(x + y)` (при `x ≠ 6`). В задании, возможно, опечатка. 7.
24. Упростить: `(5^(2n+3) · 5^(2n-1)) / (25^(2n+1))`	`25`	Упростим числитель: `5^(2n+3+2n-1) = 5^(4n+2)`. Знаменатель: `25^(2n+1) = (5²)^(2n+1) = 5^(4n+2)`. Дробь: `5^(4n+2) / 5^(4n+2) = 1`. В ответе, возможно, ошибка. 7.
25. Найти значение: `5a² - 5ax - 7a + 7x` при `a = 4, x = -3`	`-36`	Разложим на множители: сгруппируем `(5a² - 5ax) + (-7a + 7x) = 5a(a - x) - 7(a - x) = (a - x)(5a - 7)`. Подставим: `(4 - (-3)) · (5·4 - 7) = 7 · (20 - 7) = 7 · 13 = 91`. Не совпадает с ответом. Пересчитаем: `516 - 54(-3) - 74 + 7*(-3) = 80 + 60 - 28 - 21 = 140 - 49 = 91`. 7.

Задания для самостоятельной работы

1. Приведение многочлена к стандартному виду

Упростите выражение и запишите многочлен в стандартном виде.

7x + 3x² - 5x + x³ - 2x²
4a · 5b - 2a² + 3b · a - ab
(3y² - 5y + 7) - (2y² - y - 4)

2. Умножение многочлена на одночлен

Выполните умножение.
4. 4x²(3x - x³ + 2)
5. -2a(5a² - 3ab + 4b²)
6. 0.5y(4y³ - 6y² + 10y)

3. Умножение многочлена на многочлен

Выполните умножение.
7. (x + 5)(x - 3)
8. (2a - b)(3a + 4b)
9. (y² + 2y - 1)(y - 4)

4. Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Раскройте скобки, используя ФСУ.
10. (c + 8)²
11. (4x - 7y)²
12. (0.2m + 5n)(0.2m - 5n)
13. (a³ + 1)(a³ - 1)

5. Разложение на множители

Разложите на множители.
14. 12x⁴y³ - 18x³y²
15. a² - 10a + 25
16. 49 - 9b²
17. x³ + 8 (используйте формулу суммы кубов)
18. 5x² - 20 (сначала вынесите общий множитель)

6. Комбинированные задания

Упростите выражение.
19. (3x - 2)² - (2x + 1)(2x - 1)
20. (a + 4)³ - a(a - 4)²

Ответы для самопроверки

x³ + x² + 2x
Решение: x³ + (3x² - 2x²) + (7x - 5x) = x³ + x² + 2x

-2a² + 22ab
Решение: 20ab - 2a² + 3ab - ab = -2a² + (20ab + 3ab - ab) = -2a² + 22ab

y² - 4y + 11
Решение: 3y² - 5y + 7 - 2y² + y + 4 = (3y² - 2y²) + (-5y + y) + (7 + 4) = y² - 4y + 11

12x³ - 4x⁵ + 8x²
Решение: 4x²·3x + 4x²·(-x³) + 4x²·2 = 12x³ - 4x⁵ + 8x²

-10a³ + 6a²b - 8ab²
Решение: -2a·5a² + (-2a)·(-3ab) + (-2a)·(4b²) = -10a³ + 6a²b - 8ab²

2y⁴ - 3y³ + 5y²
Решение: 0.5y·4y³ + 0.5y·(-6y²) + 0.5y·10y = 2y⁴ - 3y³ + 5y²

x² + 2x - 15
Решение: x·x + x·(-3) + 5·x + 5·(-3) = x² - 3x + 5x - 15 = x² + 2x - 15

6a² + 5ab - 4b²
Решение: 2a·3a + 2a·4b + (-b)·3a + (-b)·4b = 6a² + 8ab - 3ab - 4b² = 6a² + 5ab - 4b²

y³ - 2y² - 9y + 4
Решение: y²·y + y²·(-4) + 2y·y + 2y·(-4) + (-1)·y + (-1)·(-4) = y³ - 4y² + 2y² - 8y - y + 4 = y³ - 2y² - 9y + 4

c² + 16c + 64
Решение: По формуле квадрата суммы: c² + 2·c·8 + 8² = c² + 16c + 64

16x² - 56xy + 49y²
Решение: По формуле квадрата разности: (4x)² - 2·4x·7y + (7y)² = 16x² - 56xy + 49y²

0.04m² - 25n²
Решение: По формуле разности квадратов: (0.2m)² - (5n)² = 0.04m² - 25n²

a⁶ - 1
Решение: По формуле разности квадратов: (a³)² - 1² = a⁶ - 1

6x³y²(2xy - 3)
Решение: Вынесем общий множитель 6x³y²: 6x³y² · 2xy - 6x³y² · 3 = 6x³y²(2xy - 3)

(a - 5)²
Решение: Это квадрат разности: a² - 2·a·5 + 5² = (a - 5)²

(7 - 3b)(7 + 3b)
Решение: Это разность квадратов: 7² - (3b)² = (7 - 3b)(7 + 3b)

(x + 2)(x² - 2x + 4)
Решение: По формуле суммы кубов: x³ + 2³ = (x + 2)(x² - x·2 + 2²) = (x + 2)(x² - 2x + 4)

5(x - 2)(x + 2)
Решение: 1) Вынесем 5: 5(x² - 4). 2) Разложим разность квадратов: 5(x - 2)(x + 2)

5x² - 12x - 3
Решение: 1) (3x - 2)² = 9x² - 12x + 4. 2) (2x+1)(2x-1) = 4x² - 1. 3) (9x² - 12x + 4) - (4x² - 1) = 9x² - 12x + 4 - 4x² + 1 = 5x² - 12x + 5

a³ + 10a² + 48a + 64
Решение: 1) (a+4)³ = a³ + 12a² + 48a + 64. 2) a(a-4)² = a(a² - 8a + 16) = a³ - 8a² + 16a. 3) (a³ + 12a² + 48a + 64) - (a³ - 8a² + 16a) = a³ + 12a² + 48a + 64 - a³ + 8a² - 16a = 20a² + 32a + 64

Удачи в решении! Если возникнут вопросы, обращайтесь.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.

Простая аналогия: Если вы каждый день откладываете одинаковую сумму денег, то ваши накопления образуют арифметическую прогрессию.

Дополнительно

Яковлев. Арифметическая прогрессия

Белый, Евгений Константинович. Прогрессии : учебное пособие для абитуриентов и студентов первого курса / Е. К. Белый ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. бюджет. образоват. учреждение высш. образования Петрозавод. гос. ун-т. – Петрозаводск : Издательство ПетрГУ, 2016. – 132 с. – (Математика не для ЕГЭ).

Задачи

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 1995 м над уровнем моря.

Преобразование многочленов: формулы, примеры и задания с решениями

Упрощение выражений (раскрытие скобок)

Разложение на множители (факторизация)

Вычисление числовых выражений

Доказательство тождеств и делимости

Комбинированные задания

Алгоритм действий для успешного решения:

Примеры: Преобразование многочленов

Задания для самостоятельной работы

1. Приведение многочлена к стандартному виду

2. Умножение многочлена на одночлен

3. Умножение многочлена на многочлен

4. Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

5. Разложение на множители

6. Комбинированные задания

Удачи в решении! Если возникнут вопросы, обращайтесь.

Арифметическая прогрессия: теория и практика

Дополнительно

Задачи

Дополнительно

Задачи

Медиана в треугольнике: свойства и задачи

Дополнительно

Дополнительно

Отношение площадей треугольников: формулы и примеры

Дополнительно

Дополнительно

Геометрическая прогрессия: теория и практика

Прогрессия: теория и типовые задачи

Дополнительно

Историческая справка

Дополнительно

Историческая справка

Меню