Оба утверждения исторически связывают с Фалесом Милетским, но в учебных задачах лучше опираться на принятую в нашей традиции формулировку: «Теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр» или «Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр».
Инцентр (точка пересечения биссектрис треугольника) делит каждую биссектрису в отношении, которое равно сумме длин двух сторон, образующих этот угол, делённой на длину противолежащей стороны.
Например, 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐶 = 9. Тогда АО:ОА'= (AB+AC)/BC = 15/5=3:1
Кубизм стал революционным направлением в искусстве: его основоположники — Пабло Пикассо (1881–1973) и Жорж Брак (1882–1963), а также теоретик Жан Метценже (1883–1956) — переосмыслили саму природу изображения. Они не просто искали новые приёмы, а предложили иной способ мышления о пространстве и форме. И во многом этот сдвиг был вдохновлён математикой и новыми научными идеями начала XX века.
От классической перспективы к множественным ракурсам
В традиционном искусстве, начиная с эпохи Возрождения, пространство строилось по строгим правилам линейной перспективы: одна точка схода, фиксированная точка зрения, иллюзия глубины на плоской поверхности. Всё это опиралось на евклидову геометрию.
Кубисты сознательно отказались от этой системы. Вместо того чтобы изображать предмет с одной точки зрения, они стремились показать его сразу с нескольких ракурсов — спереди, сбоку, сверху. Зритель как будто «обходил» объект вокруг, собирая целостный образ из отдельных фрагментов.
Математически этот приём можно сопоставить с концепцией проекций: объект как бы проецируется на плоскость сразу из нескольких положений, и на холсте складывается мозаика граней. Художники буквально «разбирали» форму на простые геометрические элементы — кубы, конусы, цилиндры — и заново собирали из них новую реальность. Это был настоящий геометрический анализ формы: подобно учёному, который изучает объект под микроскопом, кубист раскладывал предмет на элементарные составляющие, чтобы выявить его структуру.
Идеи Анри Пуанкаре, четвёртое измерение и неевклидовы геометрии
Ключевую роль в формировании кубистского мировоззрения сыграли идеи французского математика и философа Анри Пуанкаре (1854–1912). В книге «Наука и гипотеза» (1902) он размышлял о четвёртом измерении и относительности восприятия пространства. Пуанкаре показывал, что евклидова геометрия — не единственная возможная модель пространства, а наше восприятие мира — лишь одна из интерпретаций.
Эти размышления оказались созвучны поискам кубистов. Математик Морис Принсе знакомил Пикассо, Метценже и других художников с концепциями неевклидовых геометрий и идеями о многомерных пространствах. В результате художники пришли к мысли: можно изображать не только то, что видно глазом, но и то, что ум способен «построить» мысленно.
Это нашло прямое отражение в манифесте Альбера Глеза (1881–1953) и Жана Метценже «О кубизме» (1912), где они утверждали, что художник вправе изображать не только видимое, но и «постигаемое умом». Так картина превращалась в интеллектуальную конструкцию, где форма и пространство становились предметом анализа.
Неевклидовы геометрии (идеи Лобачевского, Римана) тоже подталкивали к отказу от жёстких правил классической перспективы. Если в неевклидовом пространстве сумма углов треугольника не равна 180 градусам, то почему в искусстве пространство должно подчиняться только привычным правилам? Кубисты использовали эту свободу, чтобы создавать «обманчивую стереометрию»: одновременно показывать внутренние и внешние поверхности объекта, ломать привычные представления о глубине и объёме.
Два этапа кубизма: геометрия анализа и комбинаторика синтеза
Кубизм принято делить на два основных этапа — аналитический и синтетический.
Аналитический кубизм (1909–1912) — это этап «разбора» формы:
Форма. Объект дробился на мелкие грани, напоминающие кристаллическую структуру: пересекающиеся плоскости, острые углы, наслоения.
Цвет. Палитра намеренно сужалась до нейтральных тонов — серых, коричневых, чёрных. Цвет не должен был отвлекать от построения объёма и пространства.
Перспектива. Отказ от единой точки зрения: предмет показывали одновременно с разных сторон, добиваясь эффекта «множественного взгляда».
Яркий пример — картина Жоржа Брака «Скрипка и кувшин» (1910). В ней скрипка словно «развёрнута»: зритель одновременно видит гриф, корпус и даже струны, будто рассматривая инструмент с разных позиций.
Синтетический кубизм (после 1912 года) — этап «сборки» и усложнения:
Материалы. В картину начали включать реальные предметы: фрагменты газет, куски обоев, ткани, верёвки, песок. Так живопись становилась ближе к объекту, а не к иллюзии.
Цвет. Палитра стала ярче, появились контрасты — цвет теперь работал как самостоятельный выразительный элемент.
Форма. Изображения упрощались, превращаясь в условные знаки. Смысл возникал за счёт сочетания форм, текстур и надписей.
Знаковым произведением синтетического этапа стал «Натюрморт с плетёным стулом» (1912) Пабло Пикассо — первый в истории современного искусства полноценный коллаж, где живопись соединяется с реальными материалами:
узор, имитирующий плетение стула, выполнен с помощью настоящей клеёнки;
верёвка, обрамляющая холст, — физический объект, который буквально стирает границу между картиной и окружающим пространством;
элементы вроде бокала, лимона, ножа нарисованы, а часть букв из газеты «Le Journal» — настоящие вырезки из издания.
С математической точки зрения этот этап интересен тем, что художники экспериментировали с комбинаторикой: как разные плоские элементы сочетаются, накладываются, создают новую структуру на плоскости. Композиция становилась задачей на подбор и соединение фрагментов, где каждый элемент вносил свой вклад в общую геометрическую логику.
Таким образом, кубизм был не просто стилем, а новым способом мышления о пространстве, форме и восприятии. Искусство перестало быть имитацией природы и стало самостоятельной реальностью — конструкцией, выстроенной по собственным законам. Эти законы оказались близки идеям современной физики и математики: многомерность, относительность восприятия, отказ от абсолютных точек отсчёта. Кубизм можно рассматривать как художественный ответ на научные открытия начала XX века — и как попытку визуализировать то, что раньше существовало только в абстрактных формулах и философских рассуждениях.
Попробуй сам!
Возьми любой предмет (например, чашку) и попробуй нарисовать её:
Спереди.
Сбоку.
Сверху.
А теперь соедини все эти виды в одном рисунке — вот ты и кубист!
Возьми лист бумаги и:
Нарисуй часть предмета (например, чашку).
Наклей что-то настоящее (фантик, нитки, кусок ткани).
Добавь буквы из газеты.
Вуаля! Ты только что создал коллаж в стиле синтетического кубизма.
Вписанный четырехугольник: разбор задачЗадача 1 а) Угол A четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 59°. Найдите угол C этого четырёхугольника. б) Угол B четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 87°. Найдите угол D этого…Автор: Александра Пуляевская
