Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над переменной. К ним относятся, например, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим уравнения, в котором неизвестная переменная содержится:

• в показателе степени (показательная часть),

• под знаком логарифма (логарифмическая часть).

Часто переменная встречается и там, и там.

Дополнительно

• https://mathus.ru/math/logun.pdf
• https://mathus.ru/math/ege17.pdf
• Барон Л. А. Численные методы. Учебное пособие для техникумов. Казань, 2010.
• Колесникова С.И. Эффективные методы решений некоторых показательных и логарифмических неравенств. часть 2

• 
  Логарифмические уравнения: типы и примеры решений
  Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером . Его…
  Автор: АлексИИ
• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: АлексИИ

Рекомендую:

Показательные уравнения: решение простейших примеров и алгоритмы

Показательные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина находится в показателе степени. Основной принцип решения Главный метод основан на свойстве монотонности показательной функции : Если a>0 и a≠1 ,…

Автор: АлексИИ

Показательные уравнения: метод вынесения общего множителя с примерами

Описание Пример Дополнительно РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdf

Автор: АлексИИ

Показательные уравнения: метод группировки с примерами решений

Описание Пример 1 Пример 2 Дополнительно РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdf

Автор: АлексИИ

Показательные уравнения: метод замены переменной с примерами решений

Описание Примеры 1-5 Дополнительно Показательные_логарифмические_уравнения_и_неравенства.pdf РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdf

Автор: АлексИИ

Показательные неравенства: теория и примеры

Равносильные преобразования Равносильные преобразования показательных неравенств обычно связаны со свойствами степени с действительным показателем, вынесением общего множителя, разложением на множители. Для записи…

Автор: АлексИИ

Дополнительно:

^{Шестаков С. А., Захаров П. И. Ш51 ЕГЭ 2018. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.}

^{Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.}

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Уравнения и неравенства: разбор заданий с развернутым ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 247 с. — (Большая перемена).}

1. Рекомендации по подготовке к выполнению задания №12 (решение уравнения с отбором корней) ЕГЭ профильного уровня

2. Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике

3. ЕГЭ Математика. Показательные и логарифмические уравнения

4. Методы решения показательных уравнений (профиль)

5. Методы решения показательных уравнений (продолжение)

6. Показательные уравнения и неравенства. Показательные уравнения

7. https://uchus.online/tasks/bank/31

8. https://3.shkolkovo.online/catalog/51

9. https://3.shkolkovo.online/catalog/7779

10. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=11

11. https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=330

1. Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств [Электронный ресурс] / Р.Ф. Ахвердиев, Е.А. Турилова, А.А. Евсеева и др. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 778 Кб). – Казань: Издательство Казанского университета, 2021. – 61 с. :
2. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.:

3. Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Уравнения и неравенства: разбор заданий с развернутым ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 247 с. — (Большая перемена).

4. Балаян Э.Н. - Научись решать уравнения различными способами. Профильный уровень, 2022. - 206 с

5. Баранова Е.В., Менькова С.В. Элементарная математика. - Часть 1: учебно-методическое пособие. – Арзамас: Арзамасский филиал ННГУ, 2014. – 99 с.:
6. Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.
7. Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.
8. Мисяр Н.Н., Потапов Д.И. Методическая разработка «Показательная функции. Показательные уравнения и неравенства. Системы показательных уравнений.» (для самостоятельной работы студентов) – Санкт-Петербург: СПб ГБПОУ "Пожарно-спасательный колледж "Санкт-Петербургский центр подготовки спасателей", 2022. - 30 с.

9. Уравнения и неравенства - Нестандартные методы решения - Справочник [1997] Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.

10. Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.

11. Шестаков С. А., Захаров П. И. Ш51 ЕГЭ 2018. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.

12. Шестаков С. А., Захаров П. И. Ш51 ЕГЭ 2020. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. — 176 с.
13. Шестаков С. А., Захаров П. И. ЕГЭ 2017. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2017.

1. https://urok.1sept.ru/articles/696278/article.pdf

2. 75 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Дополнительно

^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018}

Задачи на сплавы и смеси

Задачи этого раздела вызывают наибольшие затруднения. Речь в них идет о составлении смесей, сплавов, растворов и т. д. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «влажность» и т. д.

Задачи на разбавление

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Простейшие уравнения. Вычисления и преобразования. Текстовые задачи. Задачи с прикладным содержанием : разбор заданий с кратким ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 140 с. — (Большая перемена).}

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М}.

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_5_6_класс.pdf

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_7_11_класс.pdf

Дополнительно

Задачи на бассейны и трубы.

^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018}

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Простейшие уравнения. Вычисления и преобразования. Текстовые задачи. Задачи с прикладным содержанием : разбор заданий с кратким ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 140 с. — (Большая перемена).}

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М}.

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_5_6_класс.pdf

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_7_11_класс.pdf

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.

Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Теорию расчёта таблиц Непер изложил в другой своей книге — «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), которая была издана посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Термин «логарифм» (от греческих слов logos —  «отношение» и arithmos —  «число») предложил сам Непер. Первоначально он использовал другой термин —  numeri artificiales («искусственные числа»), в противоположность numeri naturalts («естественным числам»).

Непер определял логарифм кинематически, сопоставляя равномерное и логарифмически-замедленное движение. Например, логарифм синуса он определял так: «Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».

Независимо от Непера свои таблицы логарифмов опубликовал Йост Бюрги (около 1620 года). В дальнейшем теорию логарифмов развивали другие математики, например, Генри Бригс, который в 1617 году опубликовал таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 1000.

Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Особенности логарифмических уравнений

1. ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.

   • Аргумент логарифма >0

   • Основание >0 и ≠1

2. При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.

3. Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.

Алгоритм решения (общий план)

1. Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).

2. Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.

3. Решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Проверить каждый корень по ОДЗ (обязательно!).

5. Выписать ответ.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшие

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 2. Потенцирование

Тип 3. Использование свойств

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Обратить внимание на типичные ошибки

Примеры

Тип 4. Замена переменной

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 5. Уравнения с переменным основанием

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{ЕГЭ 2020. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. — 176 с}

Тип 6. Логарифмирование обеих частей

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип. 7. Переход к новому основанию

^{ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 8. Одинаковое основание слева и справа.

Нельзя просто «убрать основание» — нужно разобрать случаи, потому что при разных основаниях правила разные.

Частые ошибки

• «Убрать основание» без проверки случаев — теряются корни xx, при которых основание 00, 11, −1−1.

• Забыть про целость показателей при основании −1−1.

• Не проверить знак показателей при основании 00.

• Не проверить корни подстановкой — некоторые могут не подойти по ОДЗ.

Пять случаев

• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: АлексИИ
• 
  Показательно-логарифмические уравнения
  Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над…
  Автор: АлексИИ

Дополнительно

• ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические уравнения
• Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение логарифмических уравнений» (практикум) – Махачкала: ДГУНХ, 2018. – 32 с.
• Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.
• Рисберг В. Г. Р 47 РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПОВЫШЕННОГО И ВЫСОКОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ (ЧАСТЬ I): Учебное пособие под общей ред. И. Ю. Черниковой / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 56 с.
• Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. Р 47 РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПОВЫШЕННОГО И ВЫСОКОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ (ЧАСТЬ II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова. – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 64 с
• Фирер А. В. Ф Элементарная математика. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие / А. В. Фирер, Е. Н. Яковлева. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2025. – 112 с.

Что больше: log_⁡10999 или log⁡₂10?

Дополнительно

Дополнительно

• 
  Производная в точке f'(x₀) : 3 метода решения
  https://nitforyou.com/posts/proizvodnaya-funkczii-v-tochke https://nitforyou.com/posts/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funktsii…
  Автор: АлексИИ
• 
  Касательная параллельна оси Ox: типовые задания
  Касательная параллельна Ox ⇔ f '(x) = 0 ⇔ пересечение графика производной с осью X. Дополнительно Справочники. Типовые задания geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf…
  Автор: АлексИИ
• 
  Касательная параллельна прямой: типовые задания
  Дополнительно Справочники. Типовые задания geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf proizvodnye-i-funkczii.pdf zadanie-8-pro.pdf proizvodnye.pdf…
  Автор: АлексИИ
• 
  Механический смысл производной: типовые примеры
  Механический (или кинематический) смысл производной заключается в следующем: Производная от пути по времени равна мгновенной скорости материальной точки в данный момент времени.…
  Автор: АлексИИ

Прежде чем говорить о механиках, важно разграничить три подхода, которые часто путают.

Геймификация — это использование игровых элементов и приёмов в неигровых контекстах. Она не создаёт полноценную игру. Она берёт отдельные её части — баллы, уровни, правила, обратную связь — и переносит их в обучение. Это даёт гибкость: элементы можно менять под любую учебную задачу.

Пример неправильного подхода: начислять по 100 баллов за каждый заход на сайт и добавить таблицу лидеров. Баллы есть — смысла нет. Новые пользователи увидят недостижимые результаты лидеров и откажутся участвовать.

Часть 1. Геймификация vs «интересный урок»: критерий системы

Ключевой критерий: есть ли игровая система, в которую ученик включён как игрок. Без системы это хорошая методика, а не геймификация.

Часть 2. Базовые механики геймификации

Различие баллов и XP

Это важно для математики:

• Баллы — за конкретный результат (решил задачу — получил 5 баллов). Можно тратить.

• XP — за усилие и активность (попробовал, исправил, помог другому). Копятся для уровня, не тратятся.

XP поощряет попытки, а не только правильные ответы. Это снижает страх ошибки.

Осторожно с наградами: эффект сверхоправдания

Внешние награды (баллы, значки, бонусы) могут не усиливать, а подрывать внутреннюю мотивацию. Психологи называют это эффектом сверхоправдания (overjustification effect). Когда ученик, которому математика была интересна сама по себе, начинает получать баллы за каждое действие, он постепенно переориентируется на баллы. Если баллы исчезают — исчезает и желание.

Это не значит, что награды нельзя использовать. Это значит, что их нужно вводить осторожно: сначала проверить, есть ли у учеников внутренний интерес, и не заменять его внешним. Идеальная геймификация — та, где награды усиливают уже существующую мотивацию, а не создают её с нуля.

Часть 2б. Приёмы: как механики комбинируются

Мастерство (Mastery): ключевой приём для математики

Ученик не переходит к следующей теме, пока не решил N задач подряд без ошибок. Это механика из игр: тренировка до автоматизма. В математике это критично — без автоматизма базовых операций невозможно двигаться дальше.

Пример: тема «Дроби» не закрывается, пока ученик не решит 10 задач подряд без ошибок. Только тогда открывается «Уравнения с дробями».

Часть 3. Примеры в математике

1. «Математический roguelite»: ошибка неизбежна

Механики: Procedural Generation + Lives / Loss + Persistent Progress.

Как устроено. Ученик проходит «подземелье» из задач. Каждая ошибка отнимает «жизнь» и меняет следующую задачу: генератор подбирает тип задания, в котором ученик ошибся. Три ошибки — «смерть», но прогресс сохраняется, и следующая попытка начинается с того же уровня.

Почему roguelite, а не roguelike. В roguelike прогресс теряется при смерти. Здесь он сохраняется — это снижает тревожность.

Вариации:

• Без «жизней»: ошибка меняет задание, но не приближает «смерть» — для тревожных учеников.

• С «боссом» в конце уровня: контрольная задача повышенной сложности.

• С «инвентарём»: за пройденные уровни — артефакты (подсказки, дополнительные попытки).

Математика: арифметика, дроби, уравнения.

2. «Босс-файт»: контрольная как игровое событие

Механики: Narrative + Levels + Timer + Teams / Guilds.

Как устроено. Контрольная работа — «босс-файт». Класс делится на «гильдии». У босса есть «здоровье» — сумма баллов, которую нужно набрать. Каждая задача — «удар». Команда может использовать «заклинания»: подсказки, дополнительные попытки, обмен задачами. Если команда не успевает за таймер, снимается «здоровье» гильдии.

Важное уточнение. Оценка ставится: геймификация здесь — оболочка, которая снижает тревожность и повышает вовлечённость.

Вариации:

• Без таймера: для тем, где важнее точность.

• С «фазами» босса: после половины баллов задачи становятся сложнее.

• С «зельями»: команда обменивает часть баллов на подсказку.

Математика: любая тема с несколькими типами задач в ограниченное время.

3. «Лавка бонусов»: непредсказуемая награда

Механики: Randomness + Points + Collection + Variable Reward.

Как устроено. У каждого ученика есть «кошелёк» баллов. За правильно решённую задачу он получает случайное количество: за простую — от 1 до 3, за сложную — от 3 до 7. Иногда выпадает «редкий» балл (×10). Накопленные баллы можно обменять на «артефакты»: право на подсказку, замену задачи, дополнительную попытку.

Педагогика. Работает механизм переменного подкрепления (Б. Ф. Скиннер). Ученик не может предсказать точное количество баллов, поэтому сосредотачивается на действии. Привязка диапазона к сложности сохраняет справедливость.

Риск. Переменное подкрепление может подавлять внутреннюю мотивацию (эффект сверхоправдания). Если ученик начинает работать за награду, а не за математику, — это сигнал, что механика перевесила содержание.

Вариации:

• Без случайности: фиксированные баллы за сложность — для учеников, которых раздражает неопределённость.

• С «ежедневным бонусом».

• С «обменом между командами».

Математика: устный счёт, быстрые вычисления, тренировка навыка.

4. «Строительство башни»: прогресс-бар как механика

Механики: Progress Bar + Levels + Teams.

Как устроено. На доске — «башня» из 10 уровней. Каждая команда решает задачи, чтобы «построить» свой этаж. Чем сложнее задача — тем выше этаж. Если команда ошибается, этаж «рушится» — но не полностью, а только последний блок. Цель — построить башню выше, чем у другой команды, или выше, чем в прошлый раз.

Вариации:

• Индивидуальная башня: каждый строит свою.

• С «фундаментом»: базовые задачи обязательны.

• С «погодой»: случайные события — «ветер» снимает блок, «солнце» добавляет.

Математика: геометрия, построение, последовательности.

5. «Математический квест с нарративом»

Механики: Narrative + Quests + Avatar + Points.

Как устроено. Ученик — «архитектор», который строит город. Каждая тема — «здание». Чтобы построить здание, нужно решить серию задач. У каждого ученика есть «аватар» — он растёт вместе с прогрессом. В конце четверти — «город», который виден всем.

Вариации:

• Коллективный город: класс строит один город, каждая команда — район.

• С «жителями»: за решённые задачи в город приходят жители.

• С «событиями»: случайные события меняют правила.

Математика: любая тема с последовательностью связанных задач.

6. «Дуэль»: соревнование с собой

Механики: Progress Bar + Timer + Feedback + Self-Competition.

Как устроено. Ученик играет против своего прошлого результата. Задача — решить больше задач, чем в прошлый раз, за то же время. Результат отображается на «дуэльной шкале»: «ты вчера» vs «ты сегодня». Победа над собой даёт «очко прогресса».

Вариации:

• С «тенью»: на экране виден прошлый результат.

• С «уровнями сложности»: каждую неделю сложность растёт.

• С «командной дуэлью»: команда играет против своего прошлого результата.

Математика: тренировка скорости и точности.

7. Низкотехнологичный «Math Quest»

Механики: Quests + Points + Teams + Randomness + Progressive Disclosure.

Как устроено. Карточки с задачами, жетоны за правильные решения, «карта путешествия» на доске. Команды двигаются по карте, попадая на «события»: «обмен задачами», «двойные баллы», «ловушка». Информация подаётся порциями — команды не знают, что их ждёт на следующей клетке.

Исследование. Vinyo, L. & Kusaka, S. (2025). The Role of Activity-Based Gamification in Enhancing Motivation to Solve Mathematical Word Problems in Ghanaian Basic Education. Journal of Science and Science Education, 40(1), 61–64. Нецифровой математический квест дал прирост по результатам (d = 2,22) и мотивации (d = 2,19).

Важное уточнение. Размер эффекта d = 2,22 очень высок — такие значения редки и требуют осторожной интерпретации: обычно они связаны с малыми выборками (N = 60) или специфическими условиями. Результат стоит рассматривать как многообещающий, но требующий подтверждения на других выборках.

Вариации:

• Без случайных событий: линейное продвижение.

• С «квестами-ответвлениями»: команда выбирает путь.

• С «обменом между командами».

8. «Экзамен как турнир»: сезоны и плей-офф

Механики: Levels + Leaderboard + Self-Competition + Seasons.

Как устроено. Четверть — «сезон». В конце — «плей-офф» (зачёт). Каждый ученик видит свой рейтинг, но не абсолютный, а относительно своего прошлого сезона. Цель — не обогнать других, а улучшить свой результат.

Почему это решает проблему таблицы лидеров. Абсолютный рейтинг демотивирует отстающих. Относительный — показывает личный прогресс и не создаёт «недостижимых» лидеров.

Вариации:

• Командный сезон: класс играет против своего прошлого результата.

• С «дивизионами»: ученики распределены по уровням, переход между ними — по прогрессу.

• С «кубком»: в конце года — финал для лучших в каждом дивизионе.

Математика: итоговое повторение, подготовка к контрольным.

Часть 4. С чего начать: минимальный набор для первого урока

Не нужно внедрять всё сразу. Начните с четырёх элементов — они дают максимум эффекта при минимуме подготовки.

Чего НЕ делать на первом уроке: таблица лидеров, таймер, сложный нарратив. Они добавляют риски (демотивация, тревожность), а пользы на старте мало.

Как это выглядит на уроке:

1. Учитель объясняет: «Сегодня работаем в системе. За каждую задачу — баллы. За попытку — XP. Цель — пройти квест».

2. Ученики решают. Учитель отмечает баллы и XP на доске (или в таблице).

3. Прогресс-бар заполняется.

4. В конце — короткая рефлексия: «Что было легко? Что трудно? Что помогло?»

Часть 5. Пример «до/после»: тема «Сложение дробей с разными знаменателями»

Обычный урок

Цель: научиться складывать дроби с разными знаменателями.

Ход:

1. Учитель объясняет правило: «Привести к общему знаменателю, сложить числители».

2. Показывает 2–3 примера на доске.

3. Ученики решают 10 примеров из учебника.

4. Учитель проверяет, ставит оценки.

Проблемы:

• Ошибка = минус в тетради или оценка.

• Ученик не видит прогресса — просто «решил 10 примеров».

• Мотивация внешняя: «чтобы не получить двойку».

• Если не понял с первого раза — страх переспросить.

Геймифицированный урок

Цель: та же — научиться складывать дроби с разными знаменателями.

Ход:

1. Учитель объясняет: «Сегодня — квест “Мастер дробей”. У вас 3 жизни. Каждая задача — 1–5 баллов. За попытку — XP. Ошибка не наказывается: она меняет следующую задачу».

2. Ученики решают. Прогресс-бар на доске: «0 из 8».

3. Ошибся — генератор подбирает похожую задачу. XP всё равно начисляется.

4. Прошёл 8 задач — «уровень пройден». Открывается следующая тема.

5. В конце — рефлексия: «Сколько XP заработал? Что было трудно?»

Что изменилось:

• Ошибка стала частью цикла, а не приговором.

• Ученик видит прогресс: «5 из 8».

• XP за попытку снижает страх.

• Мотивация смещается с «получить оценку» на «пройти уровень».

Важно: оценка всё равно ставится — по количеству решённых задач. Геймификация здесь — оболочка, которая снижает тревожность и повышает вовлечённость.

Чек-лист для учителя

Прежде чем внедрять геймификацию, ответьте на 5 вопросов:

1. Какую учебную цель я преследую? Геймификация — не самоцель.

2. Какая механика усилит именно эту цель? Не все механики подходят для всех тем.

3. Как я буду измерять прогресс? Баллы, XP, уровни — что именно?

4. Что произойдёт, если ученик проиграет? Ошибка должна быть безопасной.

5. Не превратится ли игра в самоцель? Если ученики гонятся за баллами, а не математикой — что-то пошло не так.

Главное

Геймификация в математике начинается там, где появляется игровая система: состояния, правила, прогрессия, обратная связь, случайность. Если этого нет — это просто хороший урок. Если есть — ученик не «изучает математику», а играет в систему, где математика — это механика.

Смысл не в том, чтобы «сделать весёлым», а в том, чтобы структурой игры усилить привычки математического мышления: терпимость к неопределённости, чуткость к паттернам, переопределение ошибки, активный поиск вызова. Строгость сама по себе может быть наградой — как в тетрисе, где успех открывает более сложный вызов.

Источники

• Vinyo, L. & Kusaka, S. (2025). The Role of Activity-Based Gamification in Enhancing Motivation to Solve Mathematical Word Problems in Ghanaian Basic Education. Journal of Science and Science Education, 40(1), 61–64.

• Kapp, K. M. (2012). The Gamification of Learning and Instruction. Pfeiffer.

• Zichermann, G. & Cunningham, C. (2011). Gamification by Design. O'Reilly Media.

• Zichermann, G. & Linder, J. (2010). Game-Based Marketing. Wiley.

• Deci, E. L. & Ryan, R. M. (1985). Intrinsic Motivation and Self-Determination in Human Behavior. Plenum.

• Skinner, B. F. (1953). Science and Human Behavior. Macmillan.

• Kohn, A. (1993). Punished by Rewards. Houghton Mifflin.

• Deterding, S., Dixon, D., Khaled, R., & Nacke, L. (2011). From game design elements to gamefulness: Defining "gamification". Proceedings of the 15th International Academic MindTrek Conference, 9–15.

• Hamari, J., Koivisto, J., & Sarsa, H. (2014). Does gamification work? A literature review of empirical studies on gamification. 47th Hawaii International Conference on System Sciences, 3025–3034.

«Своя игра» по дробям — это классическая викторина с темами и стоимостью вопросов, адаптированная под уроки математики. Игроки выбирают тему и баллы, отвечают, зарабатывают или теряют очки. Побеждает тот, кто наберёт больше всех.

Главная особенность — поддержка формул LaTeX.

Подготовка

Введите вопросы в редакторе

Как писать формулы

Формулы пишутся в LaTeX и оборачиваются в $...$. В редакторе есть подсказка с примерами:

• Дроби: $\frac{1}{2}$ →

• Действия: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ →

• Смешанные числа: $1\frac{1}{2}$ →

• Корни: $\sqrt{9}$ →

• Степени: $x^2$ →

Добавление тем

Кнопка «➕ Добавить тему» — новая строка в таблице. Максимум 7 тем.

Кнопка «✖» справа от темы — удалить её (с подтверждением).

Кнопка «↩️ Сбросить к примеру» — вернуть исходные вопросы.

Автосохранение

Все изменения сохраняются автоматически. Если педагог закроет вкладку или обновит страницу — вопросы и счёт восстановятся.

Игровое поле

Сетка: темы по вертикали, баллы по горизонтали (100, 200, 300, 400, 500). Ячейки с баллами — кликабельны. После ответа становятся серыми.

Вверху — прогресс-бар: «Открыто 3 из 15» и полоса заполнения.

Справа — панель игроков. Сначала два: «Игрок 1» и «Игрок 2». Активный подсвечен жёлтым.

Ход игры

1. Игрок выбирает вопрос. Клик по ячейке — вопрос открывается в панели слева. Ячейка подсвечивается жёлтым, потом становится серой.

2. Педагог читает вопрос. Формула отображается как в учебнике: 34:1243​:21​.

3. Игрок отвечает. Педагог нажимает одну из кнопок:

• ➕ у активного игрока — верный ответ, очки начисляются.

• − у активного игрока — неверный ответ, очки списываются.

• 🔍 Показать ответ — показывает правильный ответ, очки не меняются.

4. Вопрос закрывается. Ячейка остаётся серой. Панель вопроса очищается.

5. Ход переходит к следующему — кликом по имени игрока.

Кнопки в игре

Панель вопроса:

• 🔍 Показать ответ — открыть правильный ответ.

• ↩️ Вернуть вопрос — если случайно открыли, вернуть ячейку.

• ✖ Закрыть — закрыть панель вопроса.

Панель игроков:

• Клик по имени — сделать активным + переименовать (откроется prompt).

• ➕ и − — только у активного игрока.

• ➕ Добавить — новая команда (до 5).

• ➖ Удалить — убрать последнюю.

• 🔄 Сброс — обнулить счёт и открытые ячейки.

Прогресс-бар:

• ⛶ Во весь экран — для проектора.

Финал

Когда все ячейки открыты — появляется модальное окно:

🏆 Победитель: Команда 1
Счёт: 1200

1. Команда 1 — 1200

2. Команда 2 — 800

3. Команда 3 — 400

Если ничья — «🏆 Ничья!» с именами и счётом.

Две кнопки: Закрыть и Новая игра.

Сохранение

Всё сохраняется в браузере: вопросы, игроки, счёт, открытые ячейки. Если педагог закроет вкладку или переключится в редактор — игра восстановится.

Полноэкранный режим

Кнопка «⛶ Во весь экран» — для проектора. Повторное нажатие или Esc — выход.

Правила для игроков

• Три темы, пять вопросов в каждой. Стоимость: 100, 200, 300, 400, 500 очков.

• Активный игрок выбирает тему и стоимость.

• Учитель читает вопрос.

• Верный ответ → очки начисляются.

• Неверный ответ → очки списываются.

• Кнопка «Показать ответ» → очки не меняются.

• Ход переходит кликом по имени следующего игрока.

• Когда все вопросы открыты — показывается победитель.

Математическое Бинго — это интерактивная обучающая игра, которая превращает решение квадратных уравнений в увлекательное соревнование. Вместо скучных упражнений из учебника вы получаете карточку с уравнениями, решаете их и заполняете свою карточку как в классическом бинго!

📊 Особенности игры

Гибкая настройка сложности

Три размера карточки на выбор:

• 3×3 (9 уравнений) — для быстрой разминки

• 4×4 (16 уравнений) — оптимальный вариант

• 5×5 (25 уравнений) — полная версия для продвинутых

Все типы квадратных уравнений

В игре представлены все основные типы квадратных уравнений:

• Полные уравнения с целыми корнями

• Уравнения с a+b+c=0 — один корень всегда равен 1

• Уравнения с a−b+c=0 — один корень всегда равен −1

• Неполные уравнения — отсутствует b или c

• Уравнения с D=0 — один корень (два одинаковых)

Два режима работы

📝 Тренажёр — индивидуальная работа. Ученик решает уравнения, вводит корни, получает мгновенную проверку.

🎲 Бинго — командная игра. Учитель генерирует карточки, печатает их, выкрикивает уравнения — ученики решают и вычёркивают корни на своих карточках. Первый, кто зачеркнёт ряд, кричит «Бинго!».

🎮 Как играть

Режим «Тренажёр»

1. Начало игры

• Выберите размер карточки: 3×3, 4×4 или 5×5

• Нажмите «Новая игра» (🔄)

• Получите карточку с уникальными уравнениями

2. Решение уравнений

• Нажмите «Новый» (🎲) для случайного уравнения или выберите конкретное уравнение в карточке

• Решите уравнение в уме или на бумаге

• Введите корни в поле ответа:

  • Один корень: просто число (например: 2)

  • Два корня: через запятую (например: 1, -3)

  • Дроби: через / (например: 1/2) или десятичной (например: 0.5)

3. Проверка и продвижение

• Застряли? Нажмите «Ответ» (💡) — покажет корни отдельным блоком, не подставляя их в поле ввода

• Нажмите «Проверить» (✓) или клавишу Enter

• Если ответ правильный — уравнение отмечается зелёным

• Если ответ неверный — попробуйте снова

• Сложное уравнение? Используйте «Пропустить» (⏭️)

4. Завершение

• Игра заканчивается, когда все уравнения решены или пропущены

• Показывается итоговое сообщение с результатом

Режим «Бинго»

1. Подготовка

• Переключитесь на вкладку «🎲 Бинго»

• Выберите размер сетки (3×3, 4×4, 5×5)

• Укажите количество карточек (до 30) — обычно по числу учеников

• Введите название игры (например, «Квадратные уравнения»)

• Нажмите «🎲 Сгенерировать карточки»

2. Печать

• Нажмите «🖨 Печать карточек»

• Печатается:

  • Карточки для учеников — у каждого своя, с одним и тем же набором уравнений, но в разном порядке

  • Лист учителя — список всех уравнений с ответами

3. Ход игры

• Учитель выкрикивает уравнение (или показывает на проекторе)

• Ученики решают, находят корень у себя на карточке, зачёркивают клетку

• Первый, кто зачеркнёт ряд, кричит «Бинго!»

• Учитель проверяет: совпадают ли зачёркнутые корни с выкрикнутыми уравнениями

• На экране учителя можно отмечать использованные уравнения — они становятся серыми

4. Проверка прогресса

• Статистика показывает: сколько уравнений названо, сколько карточек создано

• Кнопка «🔄 Сбросить прогресс» — вернуть все уравнения в активное состояние

• Кнопка «🎲 Перемешать» — изменить порядок уравнений для учителя

💡 Что важно знать

Обозначения в карточке

• Номер в кружке — порядковый номер уравнения

• Уравнение — само задание

• ? — уравнение ещё не решено

• Зелёный фон — решено верно

• Жёлтый фон — пропущено

Разница между режимами

Полноэкранный режим

Кнопка «⛶ Во весь экран» — для проектора. Убирает браузерные панели. Повторное нажатие или Esc — выход.

Преимущества

Включает каждого. Даже застенчивые ученики участвуют — не нужно поднимать руку.

Тренирует внимание. Нужно постоянно решать и искать корни, а не ждать своей очереди.

Снижает тревожность. Это игра, а не контрольная. Ошибка не страшна.

Дает быструю обратную связь. В тренажёре ученик сразу видит результат. В бинго — после проверки.

Развивает математическую грамотность. Ученик учится распознавать типы уравнений и применять разные методы решения. Терминологическая точность важна: «показательная функция» и «степенная функция» звучат похоже, но решаются по-разному.

Формирующее оценивание. Учитель видит, какие типы уравнений вызывают трудности у класса, и корректирует объяснение.

Дополнительно

https://iro23.ru/wp-content/uploads/2025/01/презентация-задание-№-9-ОГЭ-Квадратные-уравнения-Грязнова-Г.П.pdf

Word Square — игровая техника, при которой ученики составляют слова из букв, расположенных в квадрате. В отличие от Word Search, где слова нужно находить в готовом виде, здесь их нужно составлять — это продуктивная операция, которая тренирует активное владение лексикой и орфографию.

Игра хорошо работает на уроках иностранного языка, включая РКИ: ученики видят буквы, вспоминают слова, проверяют их написание и сразу получают обратную связь.

Как это работает

1. Учитель заранее вводит слова в редакторе — отдельно для режимов 3×3 (9 букв) и 4×4 (16 букв).

2. В игре слова появляются по очереди: буквы загаданного слова перемешиваются и раскладываются по клеткам квадрата.

3. Команды составляют слова из этих букв и вводят их в свои поля.

4. Система автоматически проверяет: хватает ли букв, не повторяется ли слово.

5. Если слово подходит — оно засчитывается, буквы списываются, очки начисляются.

6. Если нет — показывается причина: «не хватает „А“», «короче 3 букв», «уже было».

7. Ведущий может отменить любое засчитанное слово, если оно технически подходит, но не является реальным.

Правила

• Квадрат 3×3 (9 букв) или 4×4 (16 букв). Буквы загаданного слова перемешиваются и раскладываются по клеткам.

• Цель: составить как можно больше слов из букв квадрата.

• Буквы можно использовать только столько раз, сколько они встречаются в загаданном слове. Пример: в слове БАТАРЕЙКА три «А» — слово с четырьмя «А» не подойдёт.

• Минимальная длина слова — 3 буквы.

• Бонус +10 очков за слово из всех букв квадрата (анаграмма).

• Таймер запускает учитель вручную.

• Ведущий следит за реальностью слов. Если слово технически подходит, но не существует — нажмите «отменить».

• В конце раунда показывается загаданное слово.

• Побеждает команда с наибольшей суммой очков.

Как использовать на уроке

Подготовка. Учитель открывает файл, вводит слова в редакторе: для 3×3 — ровно 9 букв, для 4×4 — ровно 16. Можно загрузить список из TXT-файла или сохранить текущий.

Ход игры. Учитель нажимает «Начать игру». Команды видят квадрат с буквами и вводят слова. Каждая команда имеет свой счётчик: сколько букв она уже потратила и сколько осталось. Слова проверяются автоматически, ведущий может отменить ошибочные.

Раунды. «Следующий раунд» переносит очки команд в общий счёт и берёт следующее слово из списка. Счёт и текущий раунд сохраняются — при возврате в редактор и снова в игру игра не сбрасывается.

Завершение. «Показать слово» раскрывает загаданное слово. «Сброс игры» обнуляет счёт.

Лексический аспект

Word Square тренирует продуктивное владение лексикой: чтобы найти слово, ученик должен вспомнить его, а не просто узнать. Дополнительный эффект — работа с орфографией: ученик видит, из каких букв состоит слово, и проверяет его написание.

Техника лучше работает с конкретными существительными, глаголами, прилагательными. Длинные и абстрактные слова (например, «справедливость», «развитие») хуже подходят: они сложнее вписываются в квадрат, а их узнавание не даёт значимого прироста навыка.

Обе техники — Word Search и Word Square — тренируют форму слова (написание), но не его употребление в речи. Поэтому их нужно дополнять заданиями на говорение: составить предложение, разыграть диалог, описать картинку с использованием найденных слов.

Задачи на смеси (сплавы, растворы) — это текстовые задачи, в которых речь идёт о смешивании веществ, растворении веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов.

Задачи на сплавы в математике — это задания, в которых смешиваются растворы (сплавы) с разными массами и концентрациями некоторого вещества, формируя раствор общей массы и новой концентрации. Искомая величина — масса какого-то из растворов или процент содержания вещества.

Дополнительно:

• 
  Задачи о движении с подъемом и спуском
  Задачи о движении с подъёмом и спуском — это классический тип текстовых задач, с которым школьники встречаются на олимпиадах, экзаменах и в повседневной математике. Внешне они выглядят как простые истории про улитку на…
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Задачи на движение: средняя скорость
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Задачи на движение
  Основными типами задач на движение являются следующие: задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку), задачи на движение по замкнутой трассе, задачи на движение по воде, задачи на среднюю скорость, задачи на…
  Автор: Александра Пуляевская

• Колесникова Софья Ильинична. Текстовые задачи на движение

Основными типами задач на движение являются следующие:

• задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),

• задачи на движение по замкнутой трассе,

• задачи на движение по воде,

• задачи на среднюю скорость,

• задачи на движение протяженных тел

^{https://school-pro.ru/constructor/materials/profilny-ege-po-matematike-1-chast/zadanie-10-profilnogo-ege-zadachi-na-dvizhenie-po-pryamoy/}

Движение навстречу.

Движение вдогонку.

Движение по окружности (замкнутой трассе).

^{https://school-pro.ru/constructor/materials/profilny-ege-po-matematike-1-chast/zadanie-10-profilnogo-ege-dvizhenie-po-okruzhnosti/}

Движение по воде.

^{https://school-pro.ru/constructor/materials/profilny-ege-po-matematike-1-chast/zadanie-10-profilnogo-ege-zadachi-na-dvizhenie-po-vode/}

Средняя скорость.

Движение протяженных тел.

^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018}

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Простейшие уравнения. Вычисления и преобразования. Текстовые задачи. Задачи с прикладным содержанием : разбор заданий с кратким ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 140 с. — (Большая перемена).}

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М}.

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_5_6_класс.pdf

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_7_11_класс.pdf

Задачи о движении с подъёмом и спуском — это классический тип текстовых задач, с которым школьники встречаются на олимпиадах, экзаменах и в повседневной математике. Внешне они выглядят как простые истории про улитку на дереве, муравья в колодце или гусеницу на ветке, но за этим сюжетом скрывается важная математическая идея: движение здесь циклическое, а цель достигается не постепенно, а в конкретный момент — во время очередного подъёма. Именно поэтому такие задачи нельзя решить «в лоб», просто умножив или разделив числа.

Главная ловушка заключается в последнем периоде. Пока объект не добрался до цели, он чередует подъём и спуск, и его чистое продвижение за цикл равно разности этих двух величин. Но как только он достигает вершины, спуск уже не происходит — иначе объект «откатился» бы назад. Если не учесть этот момент, легко получить ответ на один или несколько дней больше, чем нужно. Понимание этого нюанса и есть ключ к решению всех задач данного типа.

Общие методы решения логарифмических неравенств (равносильные преобразования, метод введения новой переменной, метод знакотождественных множителей, метод интервалов и др.) предполагают умение применять свойства логарифмов и использовать монотонность логарифмической функции. Напомним эти свойства:

Необходимо чётко понимать, что приведённые свойства справедливы только при указанных условиях и только для арифметических (числовых) выражений. Для алгебраических логарифмических выражений эти свойства при решении уравнений и неравенств нужно применять, учитывая ОДЗ таких выражений, с тем чтобы не допускать её сужения (обычно ведущего к потере решений) или расширения (обычно ведущего к появлению посторонних решений).

^{Рекомендации по подготовке к выполнению и оформлению задания №14 (неравенства) ЕГЭ профильного уровня (22 января 2022) Прокофьев АА}

• При выполнении преобразований логарифмических выражений следует быть особенно внимательными в случае вынесения (внесения) чётной степени за знак логарифма или перехода от логарифма произведения (частного) двух алгебраических выражений к сумме (разности) логарифмов этих выражений и обратного перехода.

• Переход к логарифму частного приведёт к громоздкому неравенству. Лучше использовать переход к логарифму произведения, перенеся логарифм, перед которым стоит знак «минус», в другую часть неравенства.

• Переход от логарифмов произведения и частного к сумме и разности логарифмов с целью приведения подобных слагаемых может привести к сужению ОДЗ. Обратное преобразование приводит к расширению ОДЗ, что не столь критично: ведь в этом случае достаточно записать ОДЗ и тогда преобразование суммы (разности) логарифмов по одному основанию в логарифм произведения (частного) по тому же основанию будет равносильным на ОДЗ.

Примеры

1. Равносильные преобразования

При выполнении преобразований логарифмических выражений следует, как уже отмечалось, быть особенно внимательными в случае вынесения (внесения) чётной степени за знак логарифма или перехода от логарифма произведения (частного) двух алгебраических выражений к сумме (разности) логарифмов этих выражений и обратного перехода.

• ^{ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические неравенства}

^{Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.}

2.Метод введения новой переменной

• ^{ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.}

• ^{ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические неравенства}

3.Метод знакотождественных множителей и метод интервалов

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Уравнения и неравенства: разбор заданий с развернутым ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 247 с. — (Большая перемена).}

Неравенства с модулями

^{Балаян Э.Н. Математика. ЕГЭ. Задачи типа С3. Неравенства и системы неравенств}

4.Переход к новому основанию

^{Шестаков С.А_Неравенства и системы неравенств_2018_352с.pdf}

Исследование ОДЗ неравенства

Применение свойств функций

• ^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2019. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2019.}

Дополнительно:

• ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические неравенства

• Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике

• Рекомендации по подготовке к выполнению и оформлению задания №14 (неравенства) ЕГЭ профильного уровня (22 января 2022) Прокофьев АА

• ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

• Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств [Электронный ресурс] / Р.Ф. Ахвердиев, Е.А. Турилова, А.А. Евсеева и др. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 778 Кб). – Казань: Издательство Казанского университета, 2021. – 61 с. – Систем. требования: Adobe Acrobat Reader.

• Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Уравнения и неравенства: разбор заданий с развернутым ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 247 с. — (Большая перемена).

• Балаян Э.Н. Математика. ЕГЭ. Задачи типа С3. Неравенства и системы неравенств

• Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.
• Колесникова С.И. Методы рационализации. Часть первая. Некоторые типы неравенств, содержащих логарифмы и показательные функции с постоянным основанием
• Колесникова С.И. Эффективные методы решений некоторых показательных и логарифмических неравенств. часть 1

• Уравнения и неравенства - Нестандартные методы решения - Справочник [1997] Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2019. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2019.

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2018.

• Шестаков С.А_Неравенства и системы неравенств_2020_352с.pdf

  Шестаков С.А_Неравенства и системы неравенств_2019_352с.pdf

  Шестаков С.А_Неравенства и системы неравенств_2018_352с.pdf

• Нестандартные методы решения неравенств и их систем

• 75 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Логарифмические уравнения: типы и примеры решений
  Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером . Его…
  Автор: Александра Пуляевская