Тег #многоугольник сбросить

Формула Пика — это удобный инструмент для вычисления площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах целочисленной решётки. Её открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 году. Хотя изначально эта работа не получила широкого признания, к середине XX века формула стала активно применяться в математическом образовании и задачах комбинаторной геометрии.

Георг Пик был разносторонним учёным, опубликовавшим труды по алгебре, анализу и геометрии. Однако именно формула, предлагающая простой способ расчёта площадей на клетчатой бумаге, принесла ему мировую известность.

Формула Пика позволяет находить площадь любого многоугольника, все вершины которого лежат в узлах квадратной решётки, то есть имеют целочисленные координаты. Это ключевое ограничение: если хотя бы одна вершина не попадает в узел, формула неприменима.

Метод особенно полезен для многоугольников сложной формы, где традиционные геометрические формулы требуют громоздких вычислений. Он основан на подсчёте двух типов точек: узлов решётки, лежащих строго внутри фигуры, и узлов, расположенных на её границе.

Как работает формула Пика

Формула записывается следующим образом:

S = I + B/2 – 1

Где:

• S — площадь многоугольника.

• I — количество узлов решётки, находящихся строго внутри фигуры.

• B — количество узлов решётки, лежащих на границе многоугольника (включая вершины).

Это соотношение позволяет быстро получить результат, избегая сложных алгебраических преобразований. Оно демонстрирует глубокую связь между геометрией и комбинаторикой.

Дополнительно

Если вы хотите узнать больше о формуле Пика и её применениях, рекомендуем следующие ресурсы:

• Пиковое занятие: Статья на Elementy.ru, раскрывающая историю и примеры использования формулы в образовании. Доступна по ссылке: https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/436811/Pikovoe_zanyatie

• Формула Пика (презентация): Учебные слайды, которые могут быть полезны для преподавателей и студентов. Ссылка: http://dpo-smolensk.ru/RUMO/UMO-pred_EMC/pik.pdf

• Источник из журнала «Квантик»: Оригинальная статья с задачами и объяснениями, доступная по ссылке: https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2021-08.18-21.pdf

Дополнительно

• Многоугольники: вычисление площадей
• Система заданий по теме «Площадь фигур»
• Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с
• Хачатурян А. В. ЕГЭ 2020. Математика. Задачи по планиметрии. Задача 6 (профильный уровень). Задачи 8 и 15 (базовый уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. —80 с

Дополнительно

1. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.
2. Ельчанинова Г.Г., Мельников Р.А. Основные геометрические объекты: треугольник. Методика изучения и решения задач: учебно-методическое пособие. – Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2018. – 92 с.
3. Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание.—М.: МЦНМО, 2002.— 120 с.: ил. Серия: «Секреты преподавания математики».
4. Отношение площадей
5. Задачи на разрезания
6. Разрезания в пространстве

Способ 1

Нужно найти угол ∠EFG, то есть угол с вершиной в точке F, между сторонами FE и FG.

Значит, каждый внутренний угол восьмиугольника равен 135∘. Угол EFG — это внутренний угол при вершине F (потому что FE и FG — стороны восьмиугольника).Поэтому ∠EFG=135∘.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центральный угол между соседними вершинами: 360:8=45.

Угол EFG опирается на большую дугу EG и является вписанным, поэтому равен половине угла EOG : 6*45:2=135.

Задача 2

Способ 1

I признак четырехугольника, вписанного в окружность:

Четыре точки лежат на одной окружности, если два противоположных угла в сумме дают 180∘ .

Тогда угол HEJ равен 180-144=36.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центральный угол между соседними вершинами: 360:10=36.

Угол HEJ опирается на ту же дугу что и центральный угол HOJ (36*2) и является вписанным, поэтому равен половине угла HOJ : 36*2:2=36.

Задача 3

Ответ: 147