Тег #пропорции сбросить

Пример решения

Пропорции: 20:30:10 = 2:3:1 ✅

Найди сумму частей
Пример: соотношение 2 : 3 : 1 → сумма = 2 + 3 + 1 = 6 частей

Определи массу одной части
Общая масса ÷ сумма частей
Пример: 60 г ÷ 6 = 10 г на часть

Умножь каждую часть на массу одной части

• Красный: 2 × 10 = 20 г

• Жёлтый: 3 × 10 = 30 г

• Синий: 1 × 10 = 10 г

Проверь:

Сумма: 20 + 30 + 10 = 60 г ✅

Соотношение n:m — это классический пример путаницы, потому что в зависимости от контекста оно может означать как доли от целого, так и прямое сравнение (во сколько раз больше).

Рассмотрим различные варианты интерпретации.

1. Интерпретация «Доли от целого» (Части)

Смысл: Есть некое целое, которое состоит из частей:1:3 частей.

• Как считать: Складываем части: 1 + 3 = 4 (всего частей).

• Результат:

  • Первая доля: 1/4  от целого (25%).

  • Вторая доля: 3/4  от целого (75%).

• Пример 1. Разделить прибыль 100 000 руб. в отношении 1:3

  • Первый получит: 100 000 / 4 = 25 000.

  • Второй получит: 25 000 * 3 = 75 000

    .

• Пример 2. Разделить 100 конфет в отношении 2:3.

  • Всего частей: 5.

  • Первый получит: (2/5)*100 = 40 конфет.

  • Второй получит: (3/5)*100 = 60 конфет.

2. Интерпретация «Сравнение» (Во сколько раз)

Смысл: Значение параметра у второго объекта (или человека) ровно в 3 раза больше, чем у первого.

• Как считать: Если у первого X, то у второго 3X.

Пример 1.

 «Команды получили баллы одна в 3 раза больше другой». Значит, если первая команда набрала 10 баллов, то вторая — 30. Сумма не важна, важно соотношение результатов.

3. Геометрическая интерпретация (Подобие)

Для подобных фигур отношение n:m задает масштаб пересчета линейных размеров.

• Линейный коэффициент подобия:

   k = n/m (или m/n, в зависимости от того, что с чем сравниваем).

• Отношение площадей:  (n/m)².

• Отношение объемов:  (n/m)³.

Пример:

 Матрешки относятся по высоте как 3:1. Площадь росписи большей матрешки больше в (3/1)² = 9/1= в 9 раз.

4 Реальные ситуации (Контекст имеет значение)

А. Разведение (Концентраты, сиропы)

Здесь 1:3 может означать соотношение концентрата к воде.

• Смысл:  На 1 часть концентрата нужно добавить 3 части воды.

• Общий объем получится 4 части, но концентрация вещества в растворе будет 1/4  (25%).

Б. Масштаб (Карты, чертежи)

Запись 1 : 100 (n=1, m=100) всегда означает, что 1 см на карте соответствует 100 см (1 м) в реальности.

• n < m:  Масштаб уменьшения (чертеж детали).

• n > m:  Масштаб увеличения (рисунок мелкого насекомого) — например, 10:1.

Задача

Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 1,5 км. Чему равно расстояние между городами А и B (в км), если на карте оно составляет 16 см?

Условие:
В 1 см карты — 1,5 км.
На карте расстояние = 16 см.
Найти реальное расстояние S в км.

Алгоритм:

• Определить масштаб: 1 см : 1,5 км.

• Расстояние на карте умножить на количество километров в 1 см.

Решение:
1 см карты = 1,5 км.
16 см карты = 16 1,5 км.
16 1,5 = 24.

Ответ: 24 км

Случай 1. Торговля: Наценка и Скидка

Ситуация: Магазин делает наценку 25%, а потом распродажу со скидкой 20%.

Важно: Проценты берутся от разной базы.

1. Закупка:

    Товар купили за 100 руб.

2. Наценка (+25%):

    Цена на ценнике стала 100+25%=100+25=125 руб. (25% взяли от закупочной цены 100)

3. Скидка (-20%):

    Скидку дают с новой  цены (125 руб). 20% от 125=125×0,2=25 руб.

4. Итог:

    Цена продажи = 125−25=100 руб.

Случай 2. Банки: Вклады и Кредиты (Сложный процент)

Ситуация: Вы положили 10 000 руб в банк под 10% годовых на 2 года. Банк предлагает два варианта: простое начисление % (снимать прибыль каждый год) или капитализация (сложный процент).

• Вариант А (Простые %):

  • 1-й год: прибыль 1000 руб (сняли).

  • 2-й год: прибыль 1000 руб.

  • Итого:  12 000 руб.

• Вариант Б (Сложные %):

  • 1-й год: 10 000 + 10% = 11 000 руб (прибыль НЕ снимаем).

  • 2-й год: 11 000 + 10% = 12 100 руб

    .

Случай 3. Кулинария: Прямая пропорция

Ситуация: В рецепте на 4 порции омлета нужно 6 яиц и 200 мл молока. Сколько молока нужно на 10 порций?

Логика: Количество порций и ингредиентов находятся в прямой пропорции. Во сколько раз больше порций, во столько раз больше молока.

1. Находим коэффициент пропорциональности: 10÷4=2,5

2. Умножаем пропорции молока на коэффициент: 200×2,5=500 мл.

Через пропорцию (правило креста):

4 порции/10 порций=200 мл/x мл  ⟹  4x=2000  ⟹  x=500

Случай 4. Стройка/Ремонт: Обратная пропорция

Ситуация: 5 рабочих могут оклеить комнату обоями за 8 часов. Сколько времени потребуется 10 рабочим, чтобы сделать ту же работу?

Логика: Чем больше рабочих, тем меньше времени. Это обратная пропорция.

Ошибка новичка: 8÷2=4 часа (интуитивно верно, но давай проверим математически).

• Объем работы (человеко-часы) = 5 чел×8 ч=40 человеко-часов.

• Если рабочих 10, время = 40÷10=4 часа.

Через пропорцию (осторожно, обратная!):
При обратной зависимости отношение рабочих обратно отношению времени:

5/10=x/8  ⟹  10x=40  ⟹  x=4

Случай 5. География: Масштаб

Ситуация: Масштаб карты 1:200 000. Расстояние между городами на карте равно 15 см. Какое расстояние в реальности?

Логика: Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше реального. Прямая пропорция.

• 1 см на карте = 200 000 см на местности.

• 15 см на карте = 15×200000=3000000 см.

• Переводим в километры (убираем 5 нулей, т.к. в 1 км = 1000 м = 100 000 см): 3000000 см=30 км

Случай 6. Химия/Медицина: Концентрация раствора

Ситуация: У вас есть 500 мл 9% раствора уксуса (столовый). Сколько в нем чистой уксусной кислоты?

Логика: Процент показывает долю чистого вещества в общем объеме.

• 9% = 9/100=0,09.

• Объем чистой кислоты = 500×0,09=45 мл.

Обратная задача: У вас есть 50 мл чистой кислоты. Нужно получить 5% раствор. Сколько воды нужно добавить?

• 5% раствор — это 5 мл кислоты на 100 мл раствора.

• Если кислоты 50 мл (в 10 раз больше), то объем раствора должен быть 100×10=1000 мл (1 литр).

• Значит, воды нужно: 1000−50=950 мл.

Случай 7. Работа и Зарплата: Процент выполнения плана

Ситуация: План менеджера на месяц — продать товаров на 1 000 000 руб. Он продал на 1 200 000 руб. На сколько процентов перевыполнен план?

Логика: План — это 100%.

Факт/План=1200000/1000000=1,2

Переводим в проценты: 1,2×100%=120%
Значит, план перевыполнен на 120%−100%=20%

Случай 8. Разведение жидкостей (Бытовая химия)

Ситуация: На бутылке концентрата средства для мытья полов написано: "развести 1:10". Сколько концентрата нужно налить в бутылку объемом 1 литр (1000 мл), чтобы получить рабочий раствор?

Логика:
Пропорция 1:10 означает, что на 1 часть концентрата приходится 10 частей воды. Всего частей в растворе = 1+10=11 частей.
1 литр раствора (1000 мл) — это и есть эти 11 частей.

• Объем 1 части = 1000/11≈90,9 мл.

• Концентрат = 1 часть ≈ 91 мл.

• Вода = 10 частей ≈ 909 мл

  .

Алгебраические методы особенно полезны в кулинарии при расчете пропорций, адаптации рецептов и решении практических задач. 

Основной принцип пересчета

Когда нужно увеличить или уменьшить количество порций, мы используем пропорцию – равенство двух отношений.

Примеры расчетов

Практическое задание

*Рецепт кексов (на 8 штук):

• 1/2 стакана молока

• 2 яйца

• 3/4 стакана сахара

  Посчитайте ингредиенты для 6 кексов.*