Занимательная математика — популярное

Понятие числа развивалось на протяжении тысячелетий: расширение числовой системы всегда было ответом на новые математические и практические задачи. История действительных чисел — это последовательное преодоление «нехватки» чисел для решения уравнений, измерения величин и строгого обоснования анализа.

Эволюция числовых систем

Натуральные числа (ℕ). Самые древние, возникли из практических нужд счёта (1, 2, 3, …). Здесь и далее под ℕ понимаются положительные целые; вопрос о включении нуля зависит от соглашения.

Дроби (рациональные числа, ℚ). Появились в Древнем Египте и Вавилоне для задач измерения и дележа. Египтяне активно использовали аликвотные дроби (доли единицы), а вавилоняне — шестидесятеричную позиционную запись, удобную для вычислений.

Иррациональные числа: первый кризис оснований. Согласно традиционной версии, пифагорейцы (ок. V в. до н. э.) обнаружили, что диагональ квадрата со стороной 1 несоизмерима с его стороной — то есть не выражается дробью (число √2). Это открытие стало потрясением, поскольку противоречило философии «всё есть число» (подразумевавшей рациональные числа). Важно: историки математики спорят о деталях — было ли открытие сделано через геометрию диагонали квадрата или через арифметическое рассуждение о чётности. Легенда о Гиппасе, якобы брошенном в море за разглашение, восходит к поздним источникам и не считается достоверной.

Отрицательные числа. Использовались в китайской и индийской математике для учёта долгов (в Китае — уже во II в. до н. э.). В Европе широкое признание они получили только в XVII веке (например, благодаря работам Декарта в 1637 году).

Ноль. Концепция нуля как числа была разработана в Индии, затем заимствована арабами и через них попала в Европу. Ноль стал не только «отсутствием величины», но и полноценным элементом арифметики и позиционной записи.

Строгое определение действительных чисел (XIX век)

Долгое время действительные числа использовались интуитивно, без формального определения. Пробелы в обосновании математического анализа привели к необходимости строгой конструкции. Основные подходы были предложены практически одновременно:

• Георг Кантор (1872): действительное число определяется как класс эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел (последовательностей Коши). Аналогичную конструкцию независимо предложил Ш. Мере (C. Méray).

• Рихард Дедекинд (1872): определение через «дедекиндовы сечения» — разбиение множества рациональных чисел на два класса так, что каждое число из первого класса меньше любого числа из второго. Иррациональное число отождествляется с таким сечением.

• Карл Вейерштрасс: внёс значительный вклад в арифметизацию анализа; его конструкция действительных чисел относится примерно к 1863 году и опирается на классы последовательностей (близко к канторовскому подходу), а также на представление чисел через бесконечные десятичные разложения.

Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел ℝ.

Определение и классификация действительных чисел

Действительные числа (ℝ) — это все числа, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с точками на числовой прямой. Геометрическая модель (числовая прямая) даёт наглядность, а формальное описание даётся аксиоматически: ℝ — полное упорядоченное поле.

Проще говоря, к действительным числам относятся:

Рациональные числа (ℚ): представимы в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное. Сюда входят:

• целые числа (…, −2, −1, 0, 1, 2, …);

• конечные десятичные дроби (0,75 = 3/4);

• бесконечные периодические десятичные дроби (0,333… = 1/3).

Иррациональные числа: не представимы в виде m/n. Их десятичная запись бесконечна и непериодична:

• √2 ≈ 1,41421356…;

• π ≈ 3,14159265…;

• e ≈ 2,71828182….

Примеры иррациональных чисел: √3, √5, корень из любого числа, не являющегося полным квадратом; sin(1°) (иррациональность следует из теоремы Нивена).

Заметим: иррациональных чисел «больше», чем рациональных — множество ℝ несчётно, тогда как ℚ счётно.

Аксиоматика и ключевые свойства

Множество действительных чисел ℝ образует полное упорядоченное поле. Это означает, что на ℝ определены операции сложения и умножения и отношение порядка (<), удовлетворяющие трём группам аксиом.

А. Аксиомы поля (сложение и умножение)

1. Коммутативность: a + b = b + a; a · b = b · a.

2. Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c); (a · b) · c = a · (b · c).

3. Дистрибутивность: a · (b + c) = a · b + a · c.

4. Нейтральные элементы: a + 0 = a; a · 1 = a.

5. Противоположный элемент: для любого a существует −a, такой что a + (−a) = 0.

6. Обратный элемент: для любого a ≠ 0 существует a⁻¹, такой что a · a⁻¹ = 1.

Б. Аксиомы порядка

1. Рефлексивность: a ≤ a.

2. Антисимметричность: если a ≤ b и b ≤ a, то a = b.

3. Транзитивность: если a ≤ b и b ≤ c, то a ≤ c.

4. Линейность (связность): для любых a, b выполняется либо a ≤ b, либо b ≤ a.

5. Согласованность с операциями:

   • если a ≤ b, то a + c ≤ b + c;

   • если a ≤ b и 0 ≤ c, то a · c ≤ b · c.

В. Аксиома полноты (главное отличие от рациональных чисел)

Для любого непустого подмножества A ⊂ ℝ, ограниченного сверху, существует точная верхняя грань (sup A) — наименьшее из чисел, которые больше или равны всем элементам A.

Это свойство гарантирует отсутствие «дырок» на числовой прямой и лежит в основе математического анализа: именно оно позволяет строго определить пределы, непрерывность, интегралы и многие другие понятия.

Числовая прямая как геометрическая модель

Числовая прямая — наглядное представление множества ℝ:

1. Выбирается начало отсчёта — точка O, соответствующая числу 0.

2. Задаётся положительное направление (обычно вправо).

3. Устанавливается единичный отрезок (масштаб) — отрезок длины 1.

Каждой точке на прямой соответствует единственное действительное число, и наоборот. Важнейшее свойство: между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие.

Наглядно это означает:

• положительные числа расположены справа от нуля;

• отрицательные — слева;

• расстояние от точки до начала отсчёта равно модулю числа.

Сплошность числовой прямой (отсутствие разрывов и пустот) — это и есть геометрическая интерпретация аксиомы полноты.

Действительные числа — фундаментальный объект математики: они позволяют измерять непрерывные величины и служат основой для математического анализа, алгебры, геометрии и прикладных нау

В «Трактате о доказательствах задач алгебры и алмукабалы» (перс. «Рисала фи-ль-бара̄хӣн ‘ала̄ маса̄’иль аль-джабр ва-ль-мука̄бала») Омар Хайям совершил прорыв в алгебре, систематизировав кубические уравнения и предложив геометрические методы их решения с помощью конических сечений (парабол, гипербол, окружностей).

Омар Хайям в своём труде дал классификацию 25 канонических видов уравнений. Из них 6 видов были известны ещё ал-Хорезми, 5 сводились к ним, а 14 — это кубические уравнения, для которых Хайям впервые дал геометрические методы решения.

Омар Хайям классифицировал квадратные уравнения, опираясь на традиции ал-Хорезми, и выделял шесть основных типов квадратных уравнений, в зависимости от наличия и расположения членов (квадрат, линейный член и свободный член). Для каждого типа он предлагал конкретные методы решения, главным образом используя метод «дополнения до квадрата».

Примечание: Хайям, как и  ал-Хорезми (IX век), рассматривал только положительные коэффициенты и корни.

Ниже приведена таблица с пятью видами уравнений, которые по классификации Хайяма имеют степень 3 или 4, но допускают понижение порядка путём деления на x, x² или замены переменной, и сводятся к квадратным уравнениям:

Омар Хайям придумал гениальный геометрический способ решения кубических уравнений — без сложных формул, только с помощью построения кривых!

Ниже приведена таблица с полным списком 14 типов кубических уравнений. Для каждого из этих уравнений Хайям подбирал пару конических сечений (параболы, гиперболы, окружности), пересечение которых давало геометрическое решение уравнения. Решение сводилось к построению на плоскости соответствующих кривых и нахождению их точек пересечения, что позволяло определить положительный корень.

Эта классификация стала основой для дальнейшего развития алгебры в трудах Шараф ад-Дина ат-Туси и европейских математиков Возрождения.

Почему Хайям не использовал y=x³?

1. Сложность построения

   В XI веке не было координатной системы (её придумали только в XVII веке!), и кривые строили с помощью циркуля и линейки.

   • Параболу y=x² или гиперболу x/y=k можно было задать геометрически (например, как сечения конуса).

   • А вот y=x³ не является коническим сечением — её сложно точно начертить без алгебры.

2. Неочевидность пересечений

   Хайям искал положительные вещественные корни  (отрицательные числа тогда не использовались).

   • Кривые вроде параболы y=x² и окружности x²+y²=R давали наглядные точки пересечения.

   • Кубическая парабола y=x³ ведёт себя "неудобно": она слишком быстро растёт и сложнее пересекается с другими кривыми.

Кубизм стал революционным направлением в искусстве: его основоположники — Пабло Пикассо (1881–1973) и Жорж Брак (1882–1963), а также теоретик Жан Метценже (1883–1956) — переосмыслили саму природу изображения. Они не просто искали новые приёмы, а предложили иной способ мышления о пространстве и форме. И во многом этот сдвиг был вдохновлён математикой и новыми научными идеями начала XX века.

От классической перспективы к множественным ракурсам

В традиционном искусстве, начиная с эпохи Возрождения, пространство строилось по строгим правилам линейной перспективы: одна точка схода, фиксированная точка зрения, иллюзия глубины на плоской поверхности. Всё это опиралось на евклидову геометрию.

Кубисты сознательно отказались от этой системы. Вместо того чтобы изображать предмет с одной точки зрения, они стремились показать его сразу с нескольких ракурсов — спереди, сбоку, сверху. Зритель как будто «обходил» объект вокруг, собирая целостный образ из отдельных фрагментов.

Математически этот приём можно сопоставить с концепцией проекций: объект как бы проецируется на плоскость сразу из нескольких положений, и на холсте складывается мозаика граней. Художники буквально «разбирали» форму на простые геометрические элементы — кубы, конусы, цилиндры — и заново собирали из них новую реальность. Это был настоящий геометрический анализ формы: подобно учёному, который изучает объект под микроскопом, кубист раскладывал предмет на элементарные составляющие, чтобы выявить его структуру.

Идеи Анри Пуанкаре, четвёртое измерение и неевклидовы геометрии

Ключевую роль в формировании кубистского мировоззрения сыграли идеи французского математика и философа Анри Пуанкаре (1854–1912). В книге «Наука и гипотеза» (1902) он размышлял о четвёртом измерении и относительности восприятия пространства. Пуанкаре показывал, что евклидова геометрия — не единственная возможная модель пространства, а наше восприятие мира — лишь одна из интерпретаций.

Эти размышления оказались созвучны поискам кубистов. Математик Морис Принсе знакомил Пикассо, Метценже и других художников с концепциями неевклидовых геометрий и идеями о многомерных пространствах. В результате художники пришли к мысли: можно изображать не только то, что видно глазом, но и то, что ум способен «построить» мысленно.

Это нашло прямое отражение в манифесте Альбера Глеза (1881–1953) и Жана Метценже «О кубизме» (1912), где они утверждали, что художник вправе изображать не только видимое, но и «постигаемое умом». Так картина превращалась в интеллектуальную конструкцию, где форма и пространство становились предметом анализа.

Неевклидовы геометрии (идеи Лобачевского, Римана) тоже подталкивали к отказу от жёстких правил классической перспективы. Если в неевклидовом пространстве сумма углов треугольника не равна 180 градусам, то почему в искусстве пространство должно подчиняться только привычным правилам? Кубисты использовали эту свободу, чтобы создавать «обманчивую стереометрию»: одновременно показывать внутренние и внешние поверхности объекта, ломать привычные представления о глубине и объёме.

Два этапа кубизма: геометрия анализа и комбинаторика синтеза

Кубизм принято делить на два основных этапа — аналитический и синтетический.

Аналитический кубизм (1909–1912) — это этап «разбора» формы:

• Форма. Объект дробился на мелкие грани, напоминающие кристаллическую структуру: пересекающиеся плоскости, острые углы, наслоения.

• Цвет. Палитра намеренно сужалась до нейтральных тонов — серых, коричневых, чёрных. Цвет не должен был отвлекать от построения объёма и пространства.

• Перспектива. Отказ от единой точки зрения: предмет показывали одновременно с разных сторон, добиваясь эффекта «множественного взгляда».

Яркий пример — картина Жоржа Брака «Скрипка и кувшин» (1910). В ней скрипка словно «развёрнута»: зритель одновременно видит гриф, корпус и даже струны, будто рассматривая инструмент с разных позиций.

Синтетический кубизм (после 1912 года) — этап «сборки» и усложнения:

• Материалы. В картину начали включать реальные предметы: фрагменты газет, куски обоев, ткани, верёвки, песок. Так живопись становилась ближе к объекту, а не к иллюзии.

• Цвет. Палитра стала ярче, появились контрасты — цвет теперь работал как самостоятельный выразительный элемент.

• Форма. Изображения упрощались, превращаясь в условные знаки. Смысл возникал за счёт сочетания форм, текстур и надписей.

Знаковым произведением синтетического этапа стал «Натюрморт с плетёным стулом» (1912) Пабло Пикассо — первый в истории современного искусства полноценный коллаж, где живопись соединяется с реальными материалами:

• узор, имитирующий плетение стула, выполнен с помощью настоящей клеёнки;

• верёвка, обрамляющая холст, — физический объект, который буквально стирает границу между картиной и окружающим пространством;

• элементы вроде бокала, лимона, ножа нарисованы, а часть букв из газеты «Le Journal» — настоящие вырезки из издания.

С математической точки зрения этот этап интересен тем, что художники экспериментировали с комбинаторикой: как разные плоские элементы сочетаются, накладываются, создают новую структуру на плоскости. Композиция становилась задачей на подбор и соединение фрагментов, где каждый элемент вносил свой вклад в общую геометрическую логику.

Таким образом, кубизм был не просто стилем, а новым способом мышления о пространстве, форме и восприятии. Искусство перестало быть имитацией природы и стало самостоятельной реальностью — конструкцией, выстроенной по собственным законам. Эти законы оказались близки идеям современной физики и математики: многомерность, относительность восприятия, отказ от абсолютных точек отсчёта. Кубизм можно рассматривать как художественный ответ на научные открытия начала XX века — и как попытку визуализировать то, что раньше существовало только в абстрактных формулах и философских рассуждениях.

Попробуй сам!

Возьми любой предмет (например, чашку) и попробуй нарисовать её:

1. Спереди.

2. Сбоку.

3. Сверху.

   А теперь соедини все эти виды в одном рисунке  — вот ты и кубист!

Возьми лист бумаги и:

1. Нарисуй часть предмета (например, чашку).

2. Наклей что-то настоящее (фантик, нитки, кусок ткани).

3. Добавь буквы из газеты.

Вуаля! Ты только что создал коллаж в стиле синтетического кубизма.

Леонардо Пизанский (около 1170–1250), более известный как Фибоначчи, описал эту задачу в своём труде «Liber Abaci» («Книга абака», 1202 г.). Задача стала знаменита тем, что породила последовательность чисел, названную в его честь.

Задача о кроликах (1202 г.)

В начале есть одна пара новорождённых кроликов (самец и самка). Условия модели:

• Кролики достигают половой зрелости к концу второго месяца жизни.

• Начиная со второго месяца и далее, каждая зрелая пара ежемесячно производит одну новую пару (самца и самку).

• Кролики не умирают.

• Пространство и ресурсы неограничены.

Вопрос: сколько пар кроликов будет через 1 год (12 месяцев)?

Решение:

Помесячный расчёт (первые 12 месяцев)

Ответ: через год будет 144 пары кроликов.

История с кроликами у Фибоначчи — это не реальное биологическое наблюдение, а гипотетическая математическая модель, придуманная для иллюстрации числовой последовательности: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и так далее до бесконечности. Намного позже, уже в XIX веке эту последовательность назвали «числами Фибоначчи». В честь последовательности назван астероид 6765 Фибоначчи.

День Фибоначчи отмечают 23 ноября (поскольку дата 11/23 напоминает начало последовательности: 1, 1, 2, 3…).

«Традиционное» стихотворение Фибоначчи состоит из 6 строк, в которых используется последовательность Фибоначчи, но поэты также использовали более 6 строк, но неизменным остаётся числовая последовательность. Если вы попробуете написать сонет Фибоначчи, то в 14-й строке будет 377 слогов!

Poets ~ fibonacci

That’s (1)
what(1)
poets (2)
do they dream(3)
whilst they are awake (5)
then paint their white canvas with ink(8)
adding tones and undertones to show love light and peace.(13)

(33 words in all)

© Stella Armour 11-03-15

Poet's Dilemma** Poetry) Fibonacci

I
was
working
on proof of
one of my poems
one morning, took out a comma
but in the afternoon I added it back again.

Dr.Ram Mehta 

What is the Fibonacci Sequence – and why is it the secret to musical greatness?

Дополнительно:

Дополнительно:

• Основы фармакокинетики и фармакодинамики лекарственных средств : учебное пособие / Е.В. Бибарцева, О.А. Науменко, Е.С. Барышева, А.Н. Сизенцов, Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург : ОГУ, 2021. – 94 с.: https://elib.osu.ru/bitstream/123456789/14315/1/140433_20210303.pdf

• Т. Г. Хоружая, В. С. Чучалин. Биофармация – научное направление в разработке и совершенствовании лекарственных препаратов: Учебное пособие. – Томск: Лаборатория оперативной полиграфии СибГМУ, 2006. − 75 с.: https://elar.ssmu.ru/bitstream/20.500.12701/2110/1/tut_ssmu-2006-6.pdf