Карл Фридрих Гаусс и формула суммы арифметической прогрессии

Цепные дроби: теория и практика

Цепная дробь — это способ представления числа в виде последовательности целых чисел, где каждый следующий элемент уточняет приближение. Цепная дробь — это выражение вида где a 0 — целое число, а все остальные a 1 , a 2 ,…

Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно:

Дополнительно

https://exponenta.ucoz.ru/KHugu/1_mnogochleny_i_komp_chisla.pdf

Папирус Ахмеса — это, по сути, практическое руководство по арифметике и геометрии, созданное для писцов и мастеров. Его оригинал восходит к эпохе Среднего царства (примерно 1985–1795 гг. до н. э.), но до нас он дошёл в копии, сделанной около 1550 г. до н. э. писцом Ахмесом. В надписи на папирусе он скромно сообщает, что переписывает «совершенное и основательное исследование всех вещей, понимание их сущности, познание их тайн» — то есть не изобретает, а передаёт традицию.

Сегодня основная часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а отдельные фрагменты — в Нью-Йорке. В нём содержится 84 задачи с решениями, и все они носят прикладной характер: от расчёта зерна до разметки полей.

Как египтяне считали дроби

Одна из самых ярких особенностей папируса — работа с дробями. Египтяне почти не использовали дроби вида 2/3, 3/4 и т. п. Вместо этого они стремились представить любую дробь как сумму аликвотных дробей — тех, у которых числитель равен 1. Например, вместо 3/4 писали 1/2 + 1/4.

В начале папируса есть специальная таблица разложения дробей вида 2/n на такие суммы. Это был своего рода «шпаргалка», без которой дальнейшие вычисления были бы крайне неудобны. Именно эта таблица занимает около трети всего свитка — настолько важной была работа с дробями для древних писцов.

Геометрия и приближение числа π

Египтяне умели вычислять площади и объёмы. Для прямоугольника, треугольника и трапеции у них были понятные методы. А вот с кругом всё интереснее: площадь круга они приравнивали к площади квадрата, сторона которого равна 8/9 диаметра круга.

Математически это выглядит так:

S круга ≈ (8/9·d)² = 64/81·d².

Поскольку площадь круга также равна πr² = π(d/2)² = π/4·d², то из египетского метода следует:

π/4 ≈ 64/81, откуда π ≈ 256/81 ≈ 3,16.

Это довольно хорошее приближение для своего времени — погрешность составляет менее 1%.

Также в папирусе встречаются задачи на нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра — всё это было нужно для расчёта запасов зерна, строительства и распределения ресурсов.

Уравнения и метод ложного положения

Неизвестное в задачах обозначалось иероглифом «хау» («куча»). Египтяне решали линейные уравнения с одним неизвестным с помощью метода ложного положения: брали произвольное значение, считали результат, а затем корректировали его пропорционально. Это не абстрактная алгебра, а очень практичный вычислительный приём, который позже встречался и в других культурах.

Прогрессии и головоломки

В задаче №79 встречается знаменитая задача о семи домах, семи кошках, семи мышах и т. д. — она сводится к суммированию геометрической прогрессии: 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607. Это показывает, что египтяне не только решали практические задачи, но и имели интерес к занимательной математике.

🏛️ Московский папирус (Голенищева): более древний и удивительно точный

Московский математический папирус старше папируса Ахмеса примерно на 300 лет — его датируют около 1850 г. до н. э. Своё второе название — папирус Голенищева — он получил по имени русского востоковеда Владимира Семёновича Голенищева, который приобрёл его в 1893 году в Фивах и передал в коллекцию для России. Однако основная заслуга в его систематизации, расшифровке и введении в научный оборот принадлежит другим выдающимся российским учёным — в первую очередь Б. А. Тураеву и В. В. Струве. Именно Струве в 1930 году систематизировал папирус, разбив его на задачи и добавив к каждой своё решение.

Сейчас папирус хранится в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве. В постоянной экспозиции ГМИИ представлены фрагменты папируса, в том числе связанные с геометрическими задачами; задача №14 — одна из самых известных и часто упоминается в описаниях рукописи. Основная часть рукописи находится в фондах и по-прежнему изучается исследователями.

В папирусе содержится всего 25 задач, но некоторые из них поражают своей сложностью и точностью.

Объём усечённой пирамиды: редкая формула

Задача №14 Московского папируса посвящена вычислению объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Египтяне использовали формулу, которая в современных обозначениях выглядит так:

V = h/3 · (a² + ab + b²),

где a и b — стороны оснований, а h — высота.

Это удивительно точное и нетривиальное достижение: формула верна, и её вывод требует немалой геометрической интуиции. До сих пор неясно, как египтяне её получили, но сам факт её использования говорит о высоком уровне их математических представлений. Эта формула встречается в античных источниках значительно позже; близкие вычислительные приёмы можно найти, например, в трудах Герона Александрийского (I век н. э.), что подчёркивает редкость и ценность египетского результата.

Некоторые исследователи предполагают, что египтяне могли вывести эту формулу эмпирическим путём — через измерение реальных пирамид и зернохранилищ, однако письменных свидетельств о способе её получения не сохранилось.

В Московском папирусе также есть задачи на вычисление площади треугольника, объёма призмы, а также несколько «арифметических» задач, в том числе на нахождение неизвестного числа — аналог задач «хау» из папируса Ринда.

Основные типы задач

Арифметические задачи

1. Оригинал текста

1. "Геометрическая прогрессия: 7 домов, 7 кошек, 7 мышей..."

Оригинальная формулировка: "Просуммируй геометрическую прогрессию из пяти членов, где первый член равен 7, а множитель — 7."

Решение

1. Сумма по правилу  (через умножение):

   • Последний член прогрессии: 7^5=16807

   • Сумма: 7+49+343+2401+16807=19607

   • Проверка: 2801×7=19607 (используется вспомогательное число 2801 — сумма первых четырёх членов).

2. Сумма сложением  (с предметным контекстом):

1. Оригинал текста

Задачи 24-29: "Аха" (нахождение неизвестного количества)

Тип: Линейные уравнения вида x+x/n=k

24. Оригинал текста

1. Оригинал текста

Геометрические задачи: объёмы, площади и пирамиды

Точность расчётов:

• Площадь круга вычислялась с погрешностью <1%.

• Объёмы зернохранилищ считали через практические приближения.

Практическое применение:

• Геометрия полей — для земледелия и налогов.

• Пирамиды — строительные расчёты.

Историческое значение:

• Секед — Единица измерения наклона: 1 ладонь на 1 локоть высоты. Пример: секед 5¼ ладоней соответствует углу ≈51.5° (как у Великой пирамиды).

• Формула объёма цилиндра предвосхитила Архимеда.

Дополнительно:

• The Rhind Papyrus Volume 1

• Mathematics in Egyptian Papyri

• An overview of Egyptian mathematics

• The Moscow Papyrus

• The Ahmes Papyrus