Тег #алгебра сбросить

Рекомендую:

Показательные уравнения: решение простейших примеров и алгоритмы

Показательные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина находится в показателе степени. Основной принцип решения Главный метод основан на свойстве монотонности показательной функции : Если a>0 и a≠1 ,…

Автор: АлексИИ

Показательные уравнения: метод вынесения общего множителя с примерами

Описание Пример Дополнительно РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdf

Автор: АлексИИ

Показательные уравнения: метод группировки с примерами решений

Описание Пример 1 Пример 2 Дополнительно РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdf

Автор: АлексИИ

Показательные уравнения: метод замены переменной с примерами решений

Описание Примеры 1-5 Дополнительно Показательные_логарифмические_уравнения_и_неравенства.pdf РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdf

Автор: АлексИИ

Показательные неравенства: теория и примеры

Равносильные преобразования Равносильные преобразования показательных неравенств обычно связаны со свойствами степени с действительным показателем, вынесением общего множителя, разложением на множители. Для записи…

Автор: АлексИИ

Дополнительно:

^{Шестаков С. А., Захаров П. И. Ш51 ЕГЭ 2018. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.}

^{Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.}

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Уравнения и неравенства: разбор заданий с развернутым ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 247 с. — (Большая перемена).}

1. Рекомендации по подготовке к выполнению задания №12 (решение уравнения с отбором корней) ЕГЭ профильного уровня

2. Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике

3. ЕГЭ Математика. Показательные и логарифмические уравнения

4. Методы решения показательных уравнений (профиль)

5. Методы решения показательных уравнений (продолжение)

6. Показательные уравнения и неравенства. Показательные уравнения

7. https://uchus.online/tasks/bank/31

8. https://3.shkolkovo.online/catalog/51

9. https://3.shkolkovo.online/catalog/7779

10. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=11

11. https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=330

1. Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств [Электронный ресурс] / Р.Ф. Ахвердиев, Е.А. Турилова, А.А. Евсеева и др. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 778 Кб). – Казань: Издательство Казанского университета, 2021. – 61 с. :
2. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.:

3. Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Уравнения и неравенства: разбор заданий с развернутым ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 247 с. — (Большая перемена).

4. Балаян Э.Н. - Научись решать уравнения различными способами. Профильный уровень, 2022. - 206 с

5. Баранова Е.В., Менькова С.В. Элементарная математика. - Часть 1: учебно-методическое пособие. – Арзамас: Арзамасский филиал ННГУ, 2014. – 99 с.:
6. Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.
7. Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.
8. Мисяр Н.Н., Потапов Д.И. Методическая разработка «Показательная функции. Показательные уравнения и неравенства. Системы показательных уравнений.» (для самостоятельной работы студентов) – Санкт-Петербург: СПб ГБПОУ "Пожарно-спасательный колледж "Санкт-Петербургский центр подготовки спасателей", 2022. - 30 с.

9. Уравнения и неравенства - Нестандартные методы решения - Справочник [1997] Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.

10. Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.

11. Шестаков С. А., Захаров П. И. Ш51 ЕГЭ 2018. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.

12. Шестаков С. А., Захаров П. И. Ш51 ЕГЭ 2020. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. — 176 с.
13. Шестаков С. А., Захаров П. И. ЕГЭ 2017. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2017.

1. https://urok.1sept.ru/articles/696278/article.pdf

2. 75 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Дополнительно

^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018}

Задачи на сплавы и смеси

Задачи этого раздела вызывают наибольшие затруднения. Речь в них идет о составлении смесей, сплавов, растворов и т. д. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «влажность» и т. д.

Задачи на разбавление

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Простейшие уравнения. Вычисления и преобразования. Текстовые задачи. Задачи с прикладным содержанием : разбор заданий с кратким ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 140 с. — (Большая перемена).}

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М}.

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_5_6_класс.pdf

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_7_11_класс.pdf

Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над переменной. К ним относятся, например, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим уравнения, в котором неизвестная переменная содержится:

• в показателе степени (показательная часть),

• под знаком логарифма (логарифмическая часть).

Часто переменная встречается и там, и там.

Примеры

Дополнительно

• https://mathus.ru/math/logun.pdf
• https://mathus.ru/math/ege17.pdf
• Барон Л. А. Численные методы. Учебное пособие для техникумов. Казань, 2010.
• Колесникова С.И. Эффективные методы решений некоторых показательных и логарифмических неравенств. часть 2

• 
  Логарифмические уравнения: типы и примеры решений
  Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером . Его…
  Автор: АлексИИ
• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: АлексИИ

Дополнительно

Задачи на бассейны и трубы.

^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018}

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Простейшие уравнения. Вычисления и преобразования. Текстовые задачи. Задачи с прикладным содержанием : разбор заданий с кратким ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 140 с. — (Большая перемена).}

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М}.

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_5_6_класс.pdf

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_7_11_класс.pdf

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.

Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Теорию расчёта таблиц Непер изложил в другой своей книге — «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), которая была издана посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Термин «логарифм» (от греческих слов logos —  «отношение» и arithmos —  «число») предложил сам Непер. Первоначально он использовал другой термин —  numeri artificiales («искусственные числа»), в противоположность numeri naturalts («естественным числам»).

Непер определял логарифм кинематически, сопоставляя равномерное и логарифмически-замедленное движение. Например, логарифм синуса он определял так: «Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».

Независимо от Непера свои таблицы логарифмов опубликовал Йост Бюрги (около 1620 года). В дальнейшем теорию логарифмов развивали другие математики, например, Генри Бригс, который в 1617 году опубликовал таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 1000.

Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Особенности логарифмических уравнений

1. ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.

   • Аргумент логарифма >0

   • Основание >0 и ≠1

2. При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.

3. Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.

Алгоритм решения (общий план)

1. Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).

2. Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.

3. Решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Проверить каждый корень по ОДЗ (обязательно!).

5. Выписать ответ.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшие

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 2. Потенцирование

Тип 3. Использование свойств

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Обратить внимание на типичные ошибки

Примеры

Тип 4. Замена переменной

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 5. Уравнения с переменным основанием

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{ЕГЭ 2020. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. — 176 с}

Тип 6. Логарифмирование обеих частей

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип. 7. Переход к новому основанию

^{ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 8. Одинаковое основание слева и справа.

Нельзя просто «убрать основание» — нужно разобрать случаи, потому что при разных основаниях правила разные.

Частые ошибки

• «Убрать основание» без проверки случаев — теряются корни xx, при которых основание 00, 11, −1−1.

• Забыть про целость показателей при основании −1−1.

• Не проверить знак показателей при основании 00.

• Не проверить корни подстановкой — некоторые могут не подойти по ОДЗ.

Пять случаев

• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: АлексИИ
• 
  Показательно-логарифмические уравнения
  Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над…
  Автор: АлексИИ

Дополнительно

• ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические уравнения
• Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение логарифмических уравнений» (практикум) – Махачкала: ДГУНХ, 2018. – 32 с.
• Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.
• Рисберг В. Г. Р 47 РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПОВЫШЕННОГО И ВЫСОКОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ (ЧАСТЬ I): Учебное пособие под общей ред. И. Ю. Черниковой / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 56 с.
• Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. Р 47 РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПОВЫШЕННОГО И ВЫСОКОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ (ЧАСТЬ II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова. – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 64 с
• Фирер А. В. Ф Элементарная математика. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие / А. В. Фирер, Е. Н. Яковлева. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2025. – 112 с.

Что больше: log_⁡10999 или log⁡₂10?

Дополнительно

«Своя игра» по дробям — это классическая викторина с темами и стоимостью вопросов, адаптированная под уроки математики. Игроки выбирают тему и баллы, отвечают, зарабатывают или теряют очки. Побеждает тот, кто наберёт больше всех.

Главная особенность — поддержка формул LaTeX.

Подготовка

Введите вопросы в редакторе

Как писать формулы

Формулы пишутся в LaTeX и оборачиваются в $...$. В редакторе есть подсказка с примерами:

• Дроби: $\frac{1}{2}$ →

• Действия: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ →

• Смешанные числа: $1\frac{1}{2}$ →

• Корни: $\sqrt{9}$ →

• Степени: $x^2$ →

Добавление тем

Кнопка «➕ Добавить тему» — новая строка в таблице. Максимум 7 тем.

Кнопка «✖» справа от темы — удалить её (с подтверждением).

Кнопка «↩️ Сбросить к примеру» — вернуть исходные вопросы.

Автосохранение

Все изменения сохраняются автоматически. Если педагог закроет вкладку или обновит страницу — вопросы и счёт восстановятся.

Игровое поле

Сетка: темы по вертикали, баллы по горизонтали (100, 200, 300, 400, 500). Ячейки с баллами — кликабельны. После ответа становятся серыми.

Вверху — прогресс-бар: «Открыто 3 из 15» и полоса заполнения.

Справа — панель игроков. Сначала два: «Игрок 1» и «Игрок 2». Активный подсвечен жёлтым.

Ход игры

1. Игрок выбирает вопрос. Клик по ячейке — вопрос открывается в панели слева. Ячейка подсвечивается жёлтым, потом становится серой.

2. Педагог читает вопрос. Формула отображается как в учебнике: 34:1243​:21​.

3. Игрок отвечает. Педагог нажимает одну из кнопок:

• ➕ у активного игрока — верный ответ, очки начисляются.

• − у активного игрока — неверный ответ, очки списываются.

• 🔍 Показать ответ — показывает правильный ответ, очки не меняются.

4. Вопрос закрывается. Ячейка остаётся серой. Панель вопроса очищается.

5. Ход переходит к следующему — кликом по имени игрока.

Кнопки в игре

Панель вопроса:

• 🔍 Показать ответ — открыть правильный ответ.

• ↩️ Вернуть вопрос — если случайно открыли, вернуть ячейку.

• ✖ Закрыть — закрыть панель вопроса.

Панель игроков:

• Клик по имени — сделать активным + переименовать (откроется prompt).

• ➕ и − — только у активного игрока.

• ➕ Добавить — новая команда (до 5).

• ➖ Удалить — убрать последнюю.

• 🔄 Сброс — обнулить счёт и открытые ячейки.

Прогресс-бар:

• ⛶ Во весь экран — для проектора.

Финал

Когда все ячейки открыты — появляется модальное окно:

🏆 Победитель: Команда 1
Счёт: 1200

1. Команда 1 — 1200

2. Команда 2 — 800

3. Команда 3 — 400

Если ничья — «🏆 Ничья!» с именами и счётом.

Две кнопки: Закрыть и Новая игра.

Сохранение

Всё сохраняется в браузере: вопросы, игроки, счёт, открытые ячейки. Если педагог закроет вкладку или переключится в редактор — игра восстановится.

Полноэкранный режим

Кнопка «⛶ Во весь экран» — для проектора. Повторное нажатие или Esc — выход.

Правила для игроков

• Три темы, пять вопросов в каждой. Стоимость: 100, 200, 300, 400, 500 очков.

• Активный игрок выбирает тему и стоимость.

• Учитель читает вопрос.

• Верный ответ → очки начисляются.

• Неверный ответ → очки списываются.

• Кнопка «Показать ответ» → очки не меняются.

• Ход переходит кликом по имени следующего игрока.

• Когда все вопросы открыты — показывается победитель.

Математическое Бинго — это интерактивная обучающая игра, которая превращает решение квадратных уравнений в увлекательное соревнование. Вместо скучных упражнений из учебника вы получаете карточку с уравнениями, решаете их и заполняете свою карточку как в классическом бинго!

📊 Особенности игры

Гибкая настройка сложности

Три размера карточки на выбор:

• 3×3 (9 уравнений) — для быстрой разминки

• 4×4 (16 уравнений) — оптимальный вариант

• 5×5 (25 уравнений) — полная версия для продвинутых

Все типы квадратных уравнений

В игре представлены все основные типы квадратных уравнений:

• Полные уравнения с целыми корнями

• Уравнения с a+b+c=0 — один корень всегда равен 1

• Уравнения с a−b+c=0 — один корень всегда равен −1

• Неполные уравнения — отсутствует b или c

• Уравнения с D=0 — один корень (два одинаковых)

Два режима работы

📝 Тренажёр — индивидуальная работа. Ученик решает уравнения, вводит корни, получает мгновенную проверку.

🎲 Бинго — командная игра. Учитель генерирует карточки, печатает их, выкрикивает уравнения — ученики решают и вычёркивают корни на своих карточках. Первый, кто зачеркнёт ряд, кричит «Бинго!».

🎮 Как играть

Режим «Тренажёр»

1. Начало игры

• Выберите размер карточки: 3×3, 4×4 или 5×5

• Нажмите «Новая игра» (🔄)

• Получите карточку с уникальными уравнениями

2. Решение уравнений

• Нажмите «Новый» (🎲) для случайного уравнения или выберите конкретное уравнение в карточке

• Решите уравнение в уме или на бумаге

• Введите корни в поле ответа:

  • Один корень: просто число (например: 2)

  • Два корня: через запятую (например: 1, -3)

  • Дроби: через / (например: 1/2) или десятичной (например: 0.5)

3. Проверка и продвижение

• Застряли? Нажмите «Ответ» (💡) — покажет корни отдельным блоком, не подставляя их в поле ввода

• Нажмите «Проверить» (✓) или клавишу Enter

• Если ответ правильный — уравнение отмечается зелёным

• Если ответ неверный — попробуйте снова

• Сложное уравнение? Используйте «Пропустить» (⏭️)

4. Завершение

• Игра заканчивается, когда все уравнения решены или пропущены

• Показывается итоговое сообщение с результатом

Режим «Бинго»

1. Подготовка

• Переключитесь на вкладку «🎲 Бинго»

• Выберите размер сетки (3×3, 4×4, 5×5)

• Укажите количество карточек (до 30) — обычно по числу учеников

• Введите название игры (например, «Квадратные уравнения»)

• Нажмите «🎲 Сгенерировать карточки»

2. Печать

• Нажмите «🖨 Печать карточек»

• Печатается:

  • Карточки для учеников — у каждого своя, с одним и тем же набором уравнений, но в разном порядке

  • Лист учителя — список всех уравнений с ответами

3. Ход игры

• Учитель выкрикивает уравнение (или показывает на проекторе)

• Ученики решают, находят корень у себя на карточке, зачёркивают клетку

• Первый, кто зачеркнёт ряд, кричит «Бинго!»

• Учитель проверяет: совпадают ли зачёркнутые корни с выкрикнутыми уравнениями

• На экране учителя можно отмечать использованные уравнения — они становятся серыми

4. Проверка прогресса

• Статистика показывает: сколько уравнений названо, сколько карточек создано

• Кнопка «🔄 Сбросить прогресс» — вернуть все уравнения в активное состояние

• Кнопка «🎲 Перемешать» — изменить порядок уравнений для учителя

💡 Что важно знать

Обозначения в карточке

• Номер в кружке — порядковый номер уравнения

• Уравнение — само задание

• ? — уравнение ещё не решено

• Зелёный фон — решено верно

• Жёлтый фон — пропущено

Разница между режимами

Полноэкранный режим

Кнопка «⛶ Во весь экран» — для проектора. Убирает браузерные панели. Повторное нажатие или Esc — выход.

Преимущества

Включает каждого. Даже застенчивые ученики участвуют — не нужно поднимать руку.

Тренирует внимание. Нужно постоянно решать и искать корни, а не ждать своей очереди.

Снижает тревожность. Это игра, а не контрольная. Ошибка не страшна.

Дает быструю обратную связь. В тренажёре ученик сразу видит результат. В бинго — после проверки.

Развивает математическую грамотность. Ученик учится распознавать типы уравнений и применять разные методы решения. Терминологическая точность важна: «показательная функция» и «степенная функция» звучат похоже, но решаются по-разному.

Формирующее оценивание. Учитель видит, какие типы уравнений вызывают трудности у класса, и корректирует объяснение.

Дополнительно

https://iro23.ru/wp-content/uploads/2025/01/презентация-задание-№-9-ОГЭ-Квадратные-уравнения-Грязнова-Г.П.pdf

Задачи на смеси (сплавы, растворы) — это текстовые задачи, в которых речь идёт о смешивании веществ, растворении веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов.