В XIX веке цепные дроби стали инструментом в разных областях: от теории чисел до механики и анализа. Появились попытки обобщить идею на многомерный случай (Эрмит, Клейн, Минковский, Вороной). В XX веке они нашли применение в алгоритмах, теории динамических систем и даже в криптографии.
В XVIII веке теория цепных дробей оформилась как полноценный математический аппарат благодаря работам:
Леонарда Эйлера, который глубоко исследовал свойства цепных дробей и их связь с рядами, дал важные примеры разложений.
Жозефа Луи Лагранжа, который доказал фундаментальный результат: разложение квадратичной иррациональности в цепную дробь всегда периодично, и наоборот. Это прочно связало цепные дроби с теорией чисел.
Рафаэль Бомбелли (1572) пришёл к идеям цепных дробей, изучая извлечение квадратных корней.
Пьетро Антонио Катальди (1613) считается тем, кто положил начало современной теории цепных дробей: он описал их свойства и ввёл обозначение, уже напоминающее привычное (хотя и использовал особый символ вместо плюса). Катальди заметил, что значение цепной дроби заключено между соседними подходящими дробями.
Джон Валлис развил теорию и предложил термин «непрерывная дробь» (fractio continua); именно от него термин вошёл в научный оборот.
Важное прикладное применение нашёл Христиан Гюйгенс: он использовал подходящие дроби цепных дробей для проектирования зубчатых колёс своего механического планетария. Ему нужно было подобрать отношение числа зубцов, близкое к сложному отношению периодов обращения планет, но с достаточно малыми числами — и подходящие дроби давали наилучшие рациональные приближения с малыми знаменателями.
На Востоке приёмы, эквивалентные работе с цепными дробями, развивали математики, занимавшиеся приближёнными вычислениями. Ибн аль‑Банна (XIII в.) извлекал с их помощью квадратные корни.
Особый пример практического применения — календарные расчёты Омара Хайяма (XI в.). Для создания одного из самых точных календарей в истории Хайям использовал подходящую дробь
8/33, что дает среднюю продолжительность года в 365,24242 дня. Это намного точнее, чем в юлианском (365,25) и даже григорианском (365,2425) календарях. Ошибка в один день в календаре Хайяма накапливается примерно за 4500 лет.
Истоки идей, близких к цепным дробям, уходят в глубокую древность. Тесно с ними связан алгоритм Евклида (III в. до н. э.) для нахождения наибольшего общего делителя: по сути, он даёт последовательные частные, из которых можно построить цепную дробь. Есть предположения, что методы, родственные разложению в цепную дробь, применял Архимед (ок. 287–212 до н. э.) — например, при поиске приближений к √3.
В Индии Ариабхата (V в.) использовал похожий «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений; вероятно, тем же путём было получено знаменитое рациональное приближение для
π
Рекомендации
Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.
Папирус Ахмеса — это, по сути, практическое руководство по арифметике и геометрии, созданное для писцов и мастеров. Его оригинал восходит к эпохе Среднего царства (примерно 1985–1795 гг. до н. э.), но до нас он дошёл в копии, сделанной около 1550 г. до н. э. писцом Ахмесом. В надписи на папирусе он скромно сообщает, что переписывает «совершенное и основательное исследование всех вещей, понимание их сущности, познание их тайн» — то есть не изобретает, а передаёт традицию.
Сегодня основная часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а отдельные фрагменты — в Нью-Йорке. В нём содержится 84 задачи с решениями, и все они носят прикладной характер: от расчёта зерна до разметки полей.
Как египтяне считали дроби
Одна из самых ярких особенностей папируса — работа с дробями. Египтяне почти не использовали дроби вида 2/3, 3/4 и т. п. Вместо этого они стремились представить любую дробь как сумму аликвотных дробей — тех, у которых числитель равен 1. Например, вместо 3/4 писали 1/2 + 1/4.
В начале папируса есть специальная таблица разложения дробей вида 2/n на такие суммы. Это был своего рода «шпаргалка», без которой дальнейшие вычисления были бы крайне неудобны. Именно эта таблица занимает около трети всего свитка — настолько важной была работа с дробями для древних писцов.
Геометрия и приближение числа π
Египтяне умели вычислять площади и объёмы. Для прямоугольника, треугольника и трапеции у них были понятные методы. А вот с кругом всё интереснее: площадь круга они приравнивали к площади квадрата, сторона которого равна 8/9 диаметра круга.
Математически это выглядит так:
S круга ≈ (8/9·d)² = 64/81·d².
Поскольку площадь круга также равна πr² = π(d/2)² = π/4·d², то из египетского метода следует:
π/4 ≈ 64/81, откуда π ≈ 256/81 ≈ 3,16.
Это довольно хорошее приближение для своего времени — погрешность составляет менее 1%.
Также в папирусе встречаются задачи на нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра — всё это было нужно для расчёта запасов зерна, строительства и распределения ресурсов.
Уравнения и метод ложного положения
Неизвестное в задачах обозначалось иероглифом «хау» («куча»). Египтяне решали линейные уравнения с одним неизвестным с помощью метода ложного положения: брали произвольное значение, считали результат, а затем корректировали его пропорционально. Это не абстрактная алгебра, а очень практичный вычислительный приём, который позже встречался и в других культурах.
Прогрессии и головоломки
В задаче №79 встречается знаменитая задача о семи домах, семи кошках, семи мышах и т. д. — она сводится к суммированию геометрической прогрессии: 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607. Это показывает, что египтяне не только решали практические задачи, но и имели интерес к занимательной математике.
🏛️ Московский папирус (Голенищева): более древний и удивительно точный
Московский математический папирус старше папируса Ахмеса примерно на 300 лет — его датируют около 1850 г. до н. э. Своё второе название — папирус Голенищева — он получил по имени русского востоковеда Владимира Семёновича Голенищева, который приобрёл его в 1893 году в Фивах и передал в коллекцию для России. Однако основная заслуга в его систематизации, расшифровке и введении в научный оборот принадлежит другим выдающимся российским учёным — в первую очередь Б. А. Тураеву и В. В. Струве. Именно Струве в 1930 году систематизировал папирус, разбив его на задачи и добавив к каждой своё решение.
Сейчас папирус хранится в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве. В постоянной экспозиции ГМИИ представлены фрагменты папируса, в том числе связанные с геометрическими задачами; задача №14 — одна из самых известных и часто упоминается в описаниях рукописи. Основная часть рукописи находится в фондах и по-прежнему изучается исследователями.
В папирусе содержится всего 25 задач, но некоторые из них поражают своей сложностью и точностью.
Объём усечённой пирамиды: редкая формула
Задача №14 Московского папируса посвящена вычислению объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Египтяне использовали формулу, которая в современных обозначениях выглядит так:
V = h/3 · (a² + ab + b²),
где a и b — стороны оснований, а h — высота.
Это удивительно точное и нетривиальное достижение: формула верна, и её вывод требует немалой геометрической интуиции. До сих пор неясно, как египтяне её получили, но сам факт её использования говорит о высоком уровне их математических представлений. Эта формула встречается в античных источниках значительно позже; близкие вычислительные приёмы можно найти, например, в трудах Герона Александрийского (I век н. э.), что подчёркивает редкость и ценность египетского результата.
Некоторые исследователи предполагают, что египтяне могли вывести эту формулу эмпирическим путём — через измерение реальных пирамид и зернохранилищ, однако письменных свидетельств о способе её получения не сохранилось.
В Московском папирусе также есть задачи на вычисление площади треугольника, объёма призмы, а также несколько «арифметических» задач, в том числе на нахождение неизвестного числа — аналог задач «хау» из папируса Ринда.
Основные типы задач
Арифметические задачи
№ задач
Подтип
Пример формулировки
Метод решения
Контекст применения
1-6
Деление 1-9
1: "Раздели 1 хлеб на 10 частей для 10 мужчин."
1/10 хлеба на человека
Простейший пример обучения дробям.
7-20
Умножение дробей
19: "Умножь 1/12 на (1+1/3+2/3)"
Упрощение сложного множителя через сложение дробей.
Расчёт количества зерна для выпечки хлеба
21-23
Задачи на дополнение (нахождение недостающей части
21: "2/3 + 1/15 дополни до 1"
Использование аликвотных дробей: 4/15=1/5+1/15
Расчет недостающего зерна при распределении
30-40, 64
Деление на дробные выражения; хеката; хлебов
39: "Разница в долях при распределении 100 хлебов между 10 мужчинами"
Папирус Ахмеса — это, по сути, практическое руководство по арифметике и геометрии, созданное для писцов и мастеров. Его оригинал восходит к эпохе Среднего царства (примерно 1985–1795 гг. до н. э.), но до нас он дошёл в копии, сделанной около 1550 г. до н. э. писцом Ахмесом. В надписи на папирусе он скромно сообщает, что переписывает «совершенное и основательное исследование всех вещей, понимание их сущности, познание их тайн» — то есть не изобретает, а передаёт традицию.
Сегодня основная часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а отдельные фрагменты — в Нью-Йорке. В нём содержится 84 задачи с решениями, и все они носят прикладной характер: от расчёта зерна до разметки полей.
Как египтяне считали дроби
Одна из самых ярких особенностей папируса — работа с дробями. Египтяне почти не использовали дроби вида 2/3, 3/4 и т. п. Вместо этого они стремились представить любую дробь как сумму аликвотных дробей — тех, у которых числитель равен 1. Например, вместо 3/4 писали 1/2 + 1/4.
В начале папируса есть специальная таблица разложения дробей вида 2/n на такие суммы. Это был своего рода «шпаргалка», без которой дальнейшие вычисления были бы крайне неудобны. Именно эта таблица занимает около трети всего свитка — настолько важной была работа с дробями для древних писцов.
Геометрия и приближение числа π
Египтяне умели вычислять площади и объёмы. Для прямоугольника, треугольника и трапеции у них были понятные методы. А вот с кругом всё интереснее: площадь круга они приравнивали к площади квадрата, сторона которого равна 8/9 диаметра круга.
Математически это выглядит так:
S круга ≈ (8/9·d)² = 64/81·d².
Поскольку площадь круга также равна πr² = π(d/2)² = π/4·d², то из египетского метода следует:
π/4 ≈ 64/81, откуда π ≈ 256/81 ≈ 3,16.
Это довольно хорошее приближение для своего времени — погрешность составляет менее 1%.
Также в папирусе встречаются задачи на нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра — всё это было нужно для расчёта запасов зерна, строительства и распределения ресурсов.
Уравнения и метод ложного положения
Неизвестное в задачах обозначалось иероглифом «хау» («куча»). Египтяне решали линейные уравнения с одним неизвестным с помощью метода ложного положения: брали произвольное значение, считали результат, а затем корректировали его пропорционально. Это не абстрактная алгебра, а очень практичный вычислительный приём, который позже встречался и в других культурах.
Прогрессии и головоломки
В задаче №79 встречается знаменитая задача о семи домах, семи кошках, семи мышах и т. д. — она сводится к суммированию геометрической прогрессии: 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607. Это показывает, что египтяне не только решали практические задачи, но и имели интерес к занимательной математике.
🏛️ Московский папирус (Голенищева): более древний и удивительно точный
Московский математический папирус старше папируса Ахмеса примерно на 300 лет — его датируют около 1850 г. до н. э. Своё второе название — папирус Голенищева — он получил по имени русского востоковеда Владимира Семёновича Голенищева, который приобрёл его в 1893 году в Фивах и передал в коллекцию для России. Однако основная заслуга в его систематизации, расшифровке и введении в научный оборот принадлежит другим выдающимся российским учёным — в первую очередь Б. А. Тураеву и В. В. Струве. Именно Струве в 1930 году систематизировал папирус, разбив его на задачи и добавив к каждой своё решение.
Сейчас папирус хранится в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве. В постоянной экспозиции ГМИИ представлены фрагменты папируса, в том числе связанные с геометрическими задачами; задача №14 — одна из самых известных и часто упоминается в описаниях рукописи. Основная часть рукописи находится в фондах и по-прежнему изучается исследователями.
В папирусе содержится всего 25 задач, но некоторые из них поражают своей сложностью и точностью.
Объём усечённой пирамиды: редкая формула
Задача №14 Московского папируса посвящена вычислению объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Египтяне использовали формулу, которая в современных обозначениях выглядит так:
V = h/3 · (a² + ab + b²),
где a и b — стороны оснований, а h — высота.
Это удивительно точное и нетривиальное достижение: формула верна, и её вывод требует немалой геометрической интуиции. До сих пор неясно, как египтяне её получили, но сам факт её использования говорит о высоком уровне их математических представлений. Эта формула встречается в античных источниках значительно позже; близкие вычислительные приёмы можно найти, например, в трудах Герона Александрийского (I век н. э.), что подчёркивает редкость и ценность египетского результата.
Некоторые исследователи предполагают, что египтяне могли вывести эту формулу эмпирическим путём — через измерение реальных пирамид и зернохранилищ, однако письменных свидетельств о способе её получения не сохранилось.
В Московском папирусе также есть задачи на вычисление площади треугольника, объёма призмы, а также несколько «арифметических» задач, в том числе на нахождение неизвестного числа — аналог задач «хау» из папируса Ринда.
Основные типы задач
Арифметические задачи
№ задач
Подтип
Пример формулировки
Метод решения
Контекст применения
1-6
Деление 1-9
1: "Раздели 1 хлеб на 10 частей для 10 мужчин."
1/10 хлеба на человека
Простейший пример обучения дробям.
7-20
Умножение дробей
19: "Умножь 1/12 на (1+1/3+2/3)"
Упрощение сложного множителя через сложение дробей.
Расчёт количества зерна для выпечки хлеба
21-23
Задачи на дополнение (нахождение недостающей части
21: "2/3 + 1/15 дополни до 1"
Использование аликвотных дробей: 4/15=1/5+1/15
Расчет недостающего зерна при распределении
30-40, 64
Деление на дробные выражения; хеката; хлебов
39: "Разница в долях при распределении 100 хлебов между 10 мужчинами"
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)