Тег #квадратные сбросить

Математическое Бинго — это интерактивная обучающая игра, которая превращает решение квадратных уравнений в увлекательное соревнование. Вместо скучных упражнений из учебника вы получаете карточку с уравнениями, решаете их и заполняете свою карточку как в классическом бинго!

📊 Особенности игры

Гибкая настройка сложности

Три размера карточки на выбор:

• 3×3 (9 уравнений) — для быстрой разминки

• 4×4 (16 уравнений) — оптимальный вариант

• 5×5 (25 уравнений) — полная версия для продвинутых

Все типы квадратных уравнений

В игре представлены все основные типы квадратных уравнений:

• Полные уравнения с целыми корнями

• Уравнения с a+b+c=0 — один корень всегда равен 1

• Уравнения с a−b+c=0 — один корень всегда равен −1

• Неполные уравнения — отсутствует b или c

• Уравнения с D=0 — один корень (два одинаковых)

Два режима работы

📝 Тренажёр — индивидуальная работа. Ученик решает уравнения, вводит корни, получает мгновенную проверку.

🎲 Бинго — командная игра. Учитель генерирует карточки, печатает их, выкрикивает уравнения — ученики решают и вычёркивают корни на своих карточках. Первый, кто зачеркнёт ряд, кричит «Бинго!».

🎮 Как играть

Режим «Тренажёр»

1. Начало игры

• Выберите размер карточки: 3×3, 4×4 или 5×5

• Нажмите «Новая игра» (🔄)

• Получите карточку с уникальными уравнениями

2. Решение уравнений

• Нажмите «Новый» (🎲) для случайного уравнения или выберите конкретное уравнение в карточке

• Решите уравнение в уме или на бумаге

• Введите корни в поле ответа:

  • Один корень: просто число (например: 2)

  • Два корня: через запятую (например: 1, -3)

  • Дроби: через / (например: 1/2) или десятичной (например: 0.5)

3. Проверка и продвижение

• Застряли? Нажмите «Ответ» (💡) — покажет корни отдельным блоком, не подставляя их в поле ввода

• Нажмите «Проверить» (✓) или клавишу Enter

• Если ответ правильный — уравнение отмечается зелёным

• Если ответ неверный — попробуйте снова

• Сложное уравнение? Используйте «Пропустить» (⏭️)

4. Завершение

• Игра заканчивается, когда все уравнения решены или пропущены

• Показывается итоговое сообщение с результатом

Режим «Бинго»

1. Подготовка

• Переключитесь на вкладку «🎲 Бинго»

• Выберите размер сетки (3×3, 4×4, 5×5)

• Укажите количество карточек (до 30) — обычно по числу учеников

• Введите название игры (например, «Квадратные уравнения»)

• Нажмите «🎲 Сгенерировать карточки»

2. Печать

• Нажмите «🖨 Печать карточек»

• Печатается:

  • Карточки для учеников — у каждого своя, с одним и тем же набором уравнений, но в разном порядке

  • Лист учителя — список всех уравнений с ответами

3. Ход игры

• Учитель выкрикивает уравнение (или показывает на проекторе)

• Ученики решают, находят корень у себя на карточке, зачёркивают клетку

• Первый, кто зачеркнёт ряд, кричит «Бинго!»

• Учитель проверяет: совпадают ли зачёркнутые корни с выкрикнутыми уравнениями

• На экране учителя можно отмечать использованные уравнения — они становятся серыми

4. Проверка прогресса

• Статистика показывает: сколько уравнений названо, сколько карточек создано

• Кнопка «🔄 Сбросить прогресс» — вернуть все уравнения в активное состояние

• Кнопка «🎲 Перемешать» — изменить порядок уравнений для учителя

💡 Что важно знать

Обозначения в карточке

• Номер в кружке — порядковый номер уравнения

• Уравнение — само задание

• ? — уравнение ещё не решено

• Зелёный фон — решено верно

• Жёлтый фон — пропущено

Разница между режимами

Полноэкранный режим

Кнопка «⛶ Во весь экран» — для проектора. Убирает браузерные панели. Повторное нажатие или Esc — выход.

Преимущества

Включает каждого. Даже застенчивые ученики участвуют — не нужно поднимать руку.

Тренирует внимание. Нужно постоянно решать и искать корни, а не ждать своей очереди.

Снижает тревожность. Это игра, а не контрольная. Ошибка не страшна.

Дает быструю обратную связь. В тренажёре ученик сразу видит результат. В бинго — после проверки.

Развивает математическую грамотность. Ученик учится распознавать типы уравнений и применять разные методы решения. Терминологическая точность важна: «показательная функция» и «степенная функция» звучат похоже, но решаются по-разному.

Формирующее оценивание. Учитель видит, какие типы уравнений вызывают трудности у класса, и корректирует объяснение.

Дополнительно

https://iro23.ru/wp-content/uploads/2025/01/презентация-задание-№-9-ОГЭ-Квадратные-уравнения-Грязнова-Г.П.pdf

Квадратные уравнения — одни из древнейших математических объектов, изучение которых началось ещё в древних цивилизациях. Их типология и методы решения развивались на протяжении тысячелетий.

Рассмотрим основные типы квадратных уравнений и их исторические корни.

Дополнительно

Исторические факты о квадратных уравнениях

Метод замены переменной — это универсальный приём, который позволяет преобразовать сложное уравнение в более простое квадратное.

Суть метода: найти повторяющееся выражение в уравнении, обозначить его новой переменной, решить получившееся квадратное уравнение, а затем вернуться к исходной переменной.

Дополнительно

https://mathus.ru/math/alguzap.pdf

Дополнительно

https://poshenloh.com/quadraticdetail https://en.wikipedia.org/wiki/Po-Shen_Loh https://arxiv.org/pdf/1910.06709 https://mathcenter.oxford.emory.edu/site/math108/quadratics/

• https://www.margolis-ov.ru/wp-content/uploads/2021/10/Kvadratnye-uravneniYa_trenazher.pdf

• https://www.geeksforgeeks.org/maths/quadratic-equation/

Папирус Ахмеса — это, по сути, практическое руководство по арифметике и геометрии, созданное для писцов и мастеров. Его оригинал восходит к эпохе Среднего царства (примерно 1985–1795 гг. до н. э.), но до нас он дошёл в копии, сделанной около 1550 г. до н. э. писцом Ахмесом. В надписи на папирусе он скромно сообщает, что переписывает «совершенное и основательное исследование всех вещей, понимание их сущности, познание их тайн» — то есть не изобретает, а передаёт традицию.

Сегодня основная часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а отдельные фрагменты — в Нью-Йорке. В нём содержится 84 задачи с решениями, и все они носят прикладной характер: от расчёта зерна до разметки полей.

Как египтяне считали дроби

Одна из самых ярких особенностей папируса — работа с дробями. Египтяне почти не использовали дроби вида 2/3, 3/4 и т. п. Вместо этого они стремились представить любую дробь как сумму аликвотных дробей — тех, у которых числитель равен 1. Например, вместо 3/4 писали 1/2 + 1/4.

В начале папируса есть специальная таблица разложения дробей вида 2/n на такие суммы. Это был своего рода «шпаргалка», без которой дальнейшие вычисления были бы крайне неудобны. Именно эта таблица занимает около трети всего свитка — настолько важной была работа с дробями для древних писцов.

Геометрия и приближение числа π

Египтяне умели вычислять площади и объёмы. Для прямоугольника, треугольника и трапеции у них были понятные методы. А вот с кругом всё интереснее: площадь круга они приравнивали к площади квадрата, сторона которого равна 8/9 диаметра круга.

Математически это выглядит так:

S круга ≈ (8/9·d)² = 64/81·d².

Поскольку площадь круга также равна πr² = π(d/2)² = π/4·d², то из египетского метода следует:

π/4 ≈ 64/81, откуда π ≈ 256/81 ≈ 3,16.

Это довольно хорошее приближение для своего времени — погрешность составляет менее 1%.

Также в папирусе встречаются задачи на нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра — всё это было нужно для расчёта запасов зерна, строительства и распределения ресурсов.

Уравнения и метод ложного положения

Неизвестное в задачах обозначалось иероглифом «хау» («куча»). Египтяне решали линейные уравнения с одним неизвестным с помощью метода ложного положения: брали произвольное значение, считали результат, а затем корректировали его пропорционально. Это не абстрактная алгебра, а очень практичный вычислительный приём, который позже встречался и в других культурах.

Прогрессии и головоломки

В задаче №79 встречается знаменитая задача о семи домах, семи кошках, семи мышах и т. д. — она сводится к суммированию геометрической прогрессии: 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607. Это показывает, что египтяне не только решали практические задачи, но и имели интерес к занимательной математике.

🏛️ Московский папирус (Голенищева): более древний и удивительно точный

Московский математический папирус старше папируса Ахмеса примерно на 300 лет — его датируют около 1850 г. до н. э. Своё второе название — папирус Голенищева — он получил по имени русского востоковеда Владимира Семёновича Голенищева, который приобрёл его в 1893 году в Фивах и передал в коллекцию для России. Однако основная заслуга в его систематизации, расшифровке и введении в научный оборот принадлежит другим выдающимся российским учёным — в первую очередь Б. А. Тураеву и В. В. Струве. Именно Струве в 1930 году систематизировал папирус, разбив его на задачи и добавив к каждой своё решение.

Сейчас папирус хранится в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве. В постоянной экспозиции ГМИИ представлены фрагменты папируса, в том числе связанные с геометрическими задачами; задача №14 — одна из самых известных и часто упоминается в описаниях рукописи. Основная часть рукописи находится в фондах и по-прежнему изучается исследователями.

В папирусе содержится всего 25 задач, но некоторые из них поражают своей сложностью и точностью.

Объём усечённой пирамиды: редкая формула

Задача №14 Московского папируса посвящена вычислению объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Египтяне использовали формулу, которая в современных обозначениях выглядит так:

V = h/3 · (a² + ab + b²),

где a и b — стороны оснований, а h — высота.

Это удивительно точное и нетривиальное достижение: формула верна, и её вывод требует немалой геометрической интуиции. До сих пор неясно, как египтяне её получили, но сам факт её использования говорит о высоком уровне их математических представлений. Эта формула встречается в античных источниках значительно позже; близкие вычислительные приёмы можно найти, например, в трудах Герона Александрийского (I век н. э.), что подчёркивает редкость и ценность египетского результата.

Некоторые исследователи предполагают, что египтяне могли вывести эту формулу эмпирическим путём — через измерение реальных пирамид и зернохранилищ, однако письменных свидетельств о способе её получения не сохранилось.

В Московском папирусе также есть задачи на вычисление площади треугольника, объёма призмы, а также несколько «арифметических» задач, в том числе на нахождение неизвестного числа — аналог задач «хау» из папируса Ринда.

Основные типы задач

Арифметические задачи

1. Оригинал текста

1. "Геометрическая прогрессия: 7 домов, 7 кошек, 7 мышей..."

Оригинальная формулировка: "Просуммируй геометрическую прогрессию из пяти членов, где первый член равен 7, а множитель — 7."

Решение

1. Сумма по правилу  (через умножение):

   • Последний член прогрессии: 7^5=16807

   • Сумма: 7+49+343+2401+16807=19607

   • Проверка: 2801×7=19607 (используется вспомогательное число 2801 — сумма первых четырёх членов).

2. Сумма сложением  (с предметным контекстом):

1. Оригинал текста

Задачи 24-29: "Аха" (нахождение неизвестного количества)

Тип: Линейные уравнения вида x+x/n=k

24. Оригинал текста

1. Оригинал текста

Геометрические задачи: объёмы, площади и пирамиды

Точность расчётов:

• Площадь круга вычислялась с погрешностью <1%.

• Объёмы зернохранилищ считали через практические приближения.

Практическое применение:

• Геометрия полей — для земледелия и налогов.

• Пирамиды — строительные расчёты.

Историческое значение:

• Секед — Единица измерения наклона: 1 ладонь на 1 локоть высоты. Пример: секед 5¼ ладоней соответствует углу ≈51.5° (как у Великой пирамиды).

• Формула объёма цилиндра предвосхитила Архимеда.

Дополнительно:

• The Rhind Papyrus Volume 1

• Mathematics in Egyptian Papyri

• An overview of Egyptian mathematics

• The Moscow Papyrus

• The Ahmes Papyrus

Квадратные уравнения вида ax² + bx + c = 0 можно решать разными способами. Выбор метода часто зависит от конкретного вида уравнения и может значительно упростить процесс нахождения корней.

Базовые методы решения по типам уравнений

Неполные уравнения

Неполные квадратные уравнения — это уравнения, в которых один из коэффициентов b или c равен нулю. Их решение не требует применения общей формулы дискриминанта.

• Тип: c = 0 (уравнение вида ax² + bx = 0)

  • Метод решения: Вынесение общего множителя x за скобки.

  • Пример: 3x² - 12x = 0

    • Выносим x: x(3x - 12) = 0

    • Приравниваем каждый множитель к нулю: x = 0 или 3x - 12 = 0

    • Получаем корни: x₁ = 0, x₂ = 4

• Тип: b = 0 (уравнение вида ax² + c = 0)

  • Метод решения: Перенос свободного члена и извлечение квадратного корня.

  • Пример: 2x² - 18 = 0

    • Переносим: 2x² = 18 → x² = 9

    • Извлекаем корень: x = ±√9

    • Получаем корни: x₁ = 3, x₂ = -3

Приведённые уравнения (a = 1)

Приведённое квадратное уравнение имеет вид x² + bx + c = 0. Для его решения удобны методы, основанные на свойствах корней.

• Метод подбора корней (теорема Виета)

  • Алгоритм: Нужно найти такие числа m и n, чтобы их сумма равнялась -b, а произведение — c.

  • Пример: x² - 5x + 6 = 0

    • Ищем числа: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6.

    • Корни уравнения: x₁ = 2, x₂ = 3.

• Метод По-Шен Ло (Po-Shen Loh’s Quadratic Method).

  • Алгоритм:

    1. Находим полусумму корней: S = -b/2.

    2. Находим отклонение: d = √(S² - c).

    3. Корни: x = S ± d.

  • Пример: x² - 6x + 7 = 0

    • S = -(-6)/2 = 3.

    • d = √(3² - 7) = √2.

    • Корни: x = 3 ± √2.

Полные уравнения (общий случай)

Для решения полного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, применяются универсальные и специальные методы.

Свойства коэффициентов для быстрого решения

Некоторые комбинации коэффициентов позволяют мгновенно найти один из корней.

Основные свойства:

• Если a + b + c = 0, то один корень равен 1, а второй — c/a.

  • Пример: 2x² - 5x + 3 = 0 (2 - 5 + 3 = 0) → x₁ = 1, x₂ = 3/2 = 1.5.

• Если a - b + c = 0 (b = a + c), то один корень равен -1, а второй — -c/a.

  • Пример: 3x² -7x - 10 = 0 (3 +7 - 10 = 0 при x₁ = -1, а x₂ = 10/3.

Для симметричных уравнений:

• Уравнение вида ax² + bx + a = 0: делают замену y = x + 1/x.

  • Пример: 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2; x = 0.5.

• Уравнение вида ax² + bx - a = 0: делают замену y = x - 1/x.

  • Пример: 3x² + 10x - 3 = 0 → x = 1/3; x = -3.

Практическое применение свойств:

• Если c > 0, то корни имеют одинаковый знак.

• Если c < 0, то корни имеют разные знаки.

• Если b > 0 и c > 0, то оба корня отрицательны.

• Если b < 0 и c > 0, то оба корня положительны.

Пример быстрого решения:Решим уравнение x² - 2023x + 2022 = 0.

1. Проверяем: a + b + c = 1 + (-2023) + 2022 = 0.

2. Следовательно, x₁ = 1.

3. Второй корень: x₂ = c/a = 2022/1 = 2022.

Примеры для самостоятельной тренировки:

1. 3x² + 8x - 11 = 0 (проверьте свойство a + b + c).

2. 5x² - 3x - 8 = 0 (проверьте свойство a - b + c).

3. 9x² + 30x + 25 = 0 (проверьте, является ли трёхчлен полным квадратом).

4. 2x² - 9x + 2 = 0 (зеркальные коэффициенты).

Методы

1. Метод подбора рациональных корней

Если корни уравнения рациональные, их можно найти среди делителей свободного члена c. Подробнее о методе подбора корней.

2. Теорема Виета

Классическая теорема устанавливает связь между корнями приведённого уравнения (x² + px + q = 0) и его коэффициентами: x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q. Для полного уравнения ax² + bx + c = 0 формулы имеют вид: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ · x₂ = c/a.

3. Метод "переброски" старшего коэффициента (AC-метод)

Это эффективный приём для разложения квадратного трёхчлена на множители, особенно когда старший коэффициент a не равен 1.

4. Метод обратных корней

Иногда полезно рассмотреть уравнение, корни которого являются обратными величинами к корням исходного. .

5. Выделение полного квадрата (Completing the Square)

Метод заключается в преобразовании уравнения к виду (x + p)² = q, после чего корни находятся извлечением квадратного корня из обеих частей. Это фундаментальный метод, лежащий в основе вывода формулы дискриминанта.

Источник: https://www.geeksforgeeks.org/maths/completing-the-square-formula/

6. Разложение на множители (факторизация)

Если квадратный трёхчлен можно представить в виде произведения двух линейных множителей, то корни находятся из уравнений, когда каждый множитель равен нулю. Факторизация возможна, если дискриминант D ≥ 0.

Метод подбора p и q — это обобщённая форма разложения, полезная при a ≠ 1. AC-метод (или Slide and Divide) — популярный в англоязычной педагогике приём для такой факторизации.

7. Формула корней квадратного уравнения (дискриминант)

Самый известный и универсальный метод. Дискриминант D = b² - 4ac определяет количество и тип корней:

• D > 0 — два различных действительных корня.

• D = 0 — один корень (два совпадающих).

• D < 0 — нет действительных корней (есть два комплексных).

Корни вычисляются по формуле: x = (-b ± √D) / (2a).

Эта формула исторически известна как формула Шридхары Ачарьи — индийского математика XII века, который дал её систематическое обоснование.

Альтернативная (упрощённая) форма использует параметр v = -b/(2a) — абсциссу вершины параболы. Тогда формула принимает вид x = v ± √(v² - c/a). Этот подход подчёркивает симметрию уравнения и часто удобен при целых коэффициентах.

8. Метод По-Шен Ло (Po-Shen Loh’s Quadratic Method)

Позволяет находить корни без заучивания стандартной формулы, используя среднее арифметическое корней и отклонение от него.

• https://mathcenter.oxford.emory.edu/site/math108/quadratics/

• https://arxiv.org/pdf/1910.06709

9. Графический способ

Корни уравнения — это точки пересечения графика функции y = ax² + bx + c (параболы) с осью абсцисс (OX). Для построения полезно знать элементы параболы: вершину, ось симметрии, направление ветвей.

10. Геометрический метод

Исторически уравнения решали геометрически, с помощью площадей. Например, метод ал-Хорезми (IX век) интерпретировал x² и px как площади квадрата и прямоугольника, а затем достраивал фигуру до полного квадрата.

Другой геометрический способ, связанный с именами Декарта и древних математиков, использует построение окружности по заданным точкам; корни — это абсциссы точек пересечения этой окружности с осью OX.

Метод AC (AC Method ) для решения квадратных уравнений

Метод AC (или AC method как lazy ac method , метод разложения методом подбора p и q, метод факторинга)— эффективная альтернатива стандартному решению через дискриминант, особенно когда корни являются целыми или…

Автор: АлексИИ

Дополнительно:

• https://www.geeksforgeeks.org/maths/quadratic-equation/

• https://mathus.ru/math/quadeq.pdf
• https://murysina.ru/files/639dac27a7f23.pdf

Метод AC (или AC method как lazy ac method, метод разложения методом подбора p и q, метод факторинга)— эффективная альтернатива стандартному решению через дискриминант, особенно когда корни являются целыми или простыми дробями. Он основан на разложении свободного члена c и коэффициента a на множители.

Метод факторизации - это процесс преобразования квадратного уравнения в произведение двух линейных уравнений вида (px + q) (rx + s) = 0. Затем мы можем определить значения x, которые удовлетворяют уравнению.

В математике факториза́ция или фа́кторинг — это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект. Например, число 15 факторизуется на простые числа 3 и 5, а полином x2 − 4 факторизуется на (x − 2)(x + 2). В результате факторизации во всех случаях получается произведение более простых объектов, чем исходный.

Квадратные уравнения с параметром — это уравнения, в которых помимо переменной (обычно обозначаемой как x) присутствуют параметры. Параметры — это буквы (например, a, b, c, k, m), конкретные числовые значения которых не заданы изначально и подлежат определению в соответствии с условием задачи. Важно понимать, что параметр — это не переменная, а неизвестная константа, значение которой может меняться от задачи к задаче. Часто требуется найти не одно конкретное число, а целый набор (интервал) значений параметра, при которых выполняются заданные условия относительно корней уравнения.

Давайте разберем основные особенности квадратных уравнений с параметром максимально подробно. Понимание этих «подводных камней» — ключ к тому, чтобы не терять корни и не получать лишние ответы.

В отличие от обычного уравнения, где коэффициенты — это конкретные числа, здесь они зависят от параметра. Это порождает три главные особенности.

Особенность 1. «Исчезающая квадратичность»

В стандартном квадратном уравнении ax^2+bx+c=0 жестко задано условие a≠0. В уравнении с параметром коэффициент a может быть выражением с параметром, которое обращается в ноль при некоторых его значениях.

Суть: При одних значениях параметра уравнение — квадратное (имеет 0, 1 или 2 корня), а при других — превращается в линейное (имеет 0 или 1 корень) или даже вырождается в константу.

Алгоритм действий:

При решении любой задачи с параметром у квадратного уравнения первым делом нужно рассматривать два принципиально разных случая:

1. Случай A: Коэффициент при x^2 равен нулю (уравнение НЕ квадратное).

2. Случай B: Коэффициент при x^2 не равен нулю (уравнение квадратное).

Пример

Особенность 2. «Плавающий» дискриминант

В обычном уравнении дискриминант — это число. В уравнении с параметром дискриминант D(k) — это функция от параметра. Его знак может меняться в зависимости от k.

Что нужно контролировать:

1. D>0 — два различных действительных корня.

2. D=0 — один корень (два совпавших).

3. D<0 — нет действительных корней.

Важный нюанс про «один корень»:

Фраза «уравнение имеет один корень» в задачах с параметром всегда двусмысленна. Она может означать:

1. Дискриминант равен нулю (квадратный случай).

2. Уравнение выродилось в линейное (коэффициент при x^2 = 0).
   Поэтому при ответе на вопрос «когда ровно 1 корень?» нужно объединить решения из Особенности 1 (случай линейного уравнения) и Особенности 2 (D=0).

Пример

Особенность 3. Неравенства Виета

Теорема Виета описывает связь между всеми корнями и коэффициентами. Она не работает, если уравнение потеряло квадратичность (случай a=0). Также она ничего не говорит о существовании корней (это делает дискриминант).

Золотое правило: Сначала через дискриминант находим, при каких параметрах корни существуют (D≥0), а затем применяем Виета для наложения дополнительных условий (знаки, сравнение с числом).

Краткий чек-лист при решении любой задачи:

1. Посмотри на коэффициент при x^2. При каких значениях параметра он равен нулю? Запиши эти случаи и реши их отдельно (линейные уравнения).

2. Для случая a≠0: Найди дискриминант D.

3. Условие существования корней: D≥0. Реши это неравенство.

4. Примени условия задачи (положительность, сравнение с числом и т.д.) используя теорему Виета или формулу корней, не забывая про знак a.

5. Объедини результаты из пункта 1 (линейный случай) и пунктов 2-4 (квадратный случай).

6. Проверь граничные точки (особенно те, где D=0 или a=0) на вхождение в ответ — часто они требуют отдельной проверки подстановкой.

Примеры

Тренировочные задачи и материалы

Для закрепления материала рекомендуется решать разнообразные задачи. Ниже приведены ссылки на подборки заданий по теме "Квадратные уравнения с параметром", которые помогут отработать рассмотренные методы.

• Сборник задач: Квадратные уравнения и неравенства с параметром. Часть 1
• Сборник задач: Квадратные уравнения и неравенства с параметром. Часть 2
• Сборник задач: Квадратные уравнения и неравенства с параметром. Часть 3
• Методическое пособие: Квадратный трёхчлен и его свойства

Примеры и задачи: Сборник рациональных уравнений и неравенств.