Общие методы решения логарифмических неравенств (равносильные преобразования, метод введения новой переменной, метод знакотождественных множителей, метод интервалов и др.) предполагают умение применять свойства логарифмов и использовать монотонность логарифмической функции. Напомним эти свойства:
Необходимо чётко понимать, что приведённые свойства справедливы только при указанных условиях и только для арифметических (числовых) выражений. Для алгебраических логарифмических выражений эти свойства при решении уравнений и неравенств нужно применять, учитывая ОДЗ таких выражений, с тем чтобы не допускать её сужения (обычно ведущего к потере решений) или расширения (обычно ведущего к появлению посторонних решений).
При выполнении преобразований логарифмических выражений следует быть особенно внимательными в случае вынесения (внесения) чётной степени за знак логарифма или перехода от логарифма произведения (частного) двух алгебраических выражений к сумме (разности) логарифмов этих выражений и обратного перехода.
Переход к логарифму частного приведёт к громоздкому неравенству. Лучше использовать переход к логарифму произведения, перенеся логарифм, перед которым стоит знак «минус», в другую часть неравенства.
Переход от логарифмов произведения и частного к сумме и разности логарифмов с целью приведения подобных слагаемых может привести к сужению ОДЗ. Обратное преобразование приводит к расширению ОДЗ, что не столь критично: ведь в этом случае достаточно записать ОДЗ и тогда преобразование суммы (разности) логарифмов по одному основанию в логарифм произведения (частного) по тому же основанию будет равносильным на ОДЗ.
Примеры
1. Равносильные преобразования
При выполнении преобразований логарифмических выражений следует, как уже отмечалось, быть особенно внимательными в случае вынесения (внесения) чётной степени за знак логарифма или перехода от логарифма произведения (частного) двух алгебраических выражений к сумме (разности) логарифмов этих выражений и обратного перехода.
Рассмотрим теперь базовые логарифмические неравенства с переменным основанием, т. е. неравенства вида loga(x) f (x)∨b и loga(x) f (x)∨loga(x) g(x).
В большинстве случаев такие неравенства целесообразно решать методом знакотождественных множителей. Если освоение этого метода вызывает затруднения, можно использовать традиционный способ решения таких неравенств, заключающийся в рассмотрении двух случаев:
основание логарифма больше 1 (в этом случае при потенцировании знак неравенства сохраняется);
основание логарифма положительно и меньше 1 (в этом случае при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный).
Разумеется, при потенцировании необходимо учитывать ОДЗ неравенства.
Логарифмические неравенства, к решению которых можно применить метод интервалов, целесообразно сначала рационализировать с помощью метода знакотождественных множителей.
Два алгебраических выражения a(х) и b(х) называются знакотождественными, если они имеют соответственно одни и те же промежутки знакоположительности, знакоотрицательности и нули.
Найти пары знакотождественных выражений а(х) и b(х) можно, основываясь на свойствах числовых неравенств. Приведём такие пары в таблице 4 (n—натуральные числа, l и с —действительные числа, u(х), v(х) и с(х) — произвольные алгебраические выражения).
Таким образом, для успешного решения неравенств методом знакотождественных множителей достаточно помнить о четырёх основных парах таких множителей:
разность модулей двух выражений (и вообще, разность двух выражений, неотрицательных при всех допустимых значениях переменной) и разность квадратов этих выражений;
разность двух корней одной степени и разность подкоренных выражений (при условии неотрицательности последних в случае корней чётной степени);
разность двух показательных выражений с одним и тем же числовым основанием, большим 1, и разность показателей;
разность двух логарифмов с одним и тем же числовым основанием, большим 1, и разность выражений под знаками логарифмов (при условии положительности этих выражений).
Примеры
Конечно же, запоминать эти системы не надо. Следует помнить лишь об основной идее решения подобных неравенств, заключающейся в переходе к основанию, большему 1, и замене разности логарифмов разностью алгебраических выражений под знаками логарифмов при естественных ограничениях на каждое из них.
Очевидно, что в ряде случаев метод знакотождественных множителей позволяет решать логарифмические неравенства с переменным основанием быстрее и эффективнее по сравнению с другими методами, предоставляя возможность сэкономить время и силы на экзамене для решения других заданий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства будем называть множество всех значений переменной, при каждом из которых определены (имеют смысл) все алгебраические выражения в каждой из двух частей уравнения или неравенства. Областью допустимых значений (ОДЗ) системы уравнений или неравенств будем называть пересечение областей допустимых значений каждого из уравнений или неравенств системы, т. е. множество всех значений переменной, при каждом из которых определены (имеют смысл) все алгебраические выражения в каждой из двух частей каждого уравнения или неравенства системы.
Определение 2.
Если каждое решение первого неравенстваявляется и решением второго, то второе неравенство называется следствием первого. Аналогично если каждый корень первого уравнения является и корнем второго, то второе уравнение называется следствием первого. Из этого определения вытекает, что множество корней данного уравнения содержится в множестве корней уравнения-следствия. Перейдя от данного уравнения к уравнению-следствию, найдя корни последнего и проверив, какие из них являются корнями данного (такая проверка осуществляется непосредственной подстановкой найденных корней в данное уравнение), можно найти все корни данного уравнения. Корни уравнения-следствия (решения неравенства-следствия), не являющиеся корнями данного уравнения (решениями данного неравенства), часто называют посторонними корнями (решениями). Таким образом, одним из методов решения уравнений является переход к уравнению-следствию, который при записи решения обозначается стрелкой «⇒».
Определение 3.
Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений (это множество, в частности, может быть пустым, т. е. уравнения, не имеющие корней, или неравенства, не имеющие решений, равносильны).
Переход от данного уравнения (неравенства) к равносильному уравнению (неравенству), равносильной совокупности или равносильной системе называется равносильным и при записи решения обозначается двусторонней стрелкой «⇔». Такой переход не приводит ни к потере решений (корней), ни к приобретению посторонних решений (корней), и алгебраические преобразования, которые делают такой переход возможным, также называются равносильными. Метод равносильных преобразований не требует проверки найденных решений путём их подстановки в данное уравнение или неравенство и является одним из основных методов решения уравнений и неравенств.
Замечание. Одной из наиболее распространённых ошибок при записи решений уравнений и неравенств является использование знаков следования и равносильности при переходе от уравнения (неравенства, системы) с одной переменной к уравнению (неравенству, системе) с другой переменной (как правило, после выполнения замены переменной).
Основной идеей метода является замена повторяющегося алгебраического выражения в данном уравнении (неравенстве) некоторой (обычно латинской) буквой, играющей роль новой переменной. Решив после такой замены уравнение (неравенство) относительно новой переменной, нужно сделать обратную замену, вернувшись к данной переменной, и решить полученные уравнения (неравенства) уже относительно данной переменной. Заметим, что устоявшееся название «метод замены переменной» является терминологически не вполне точным, поскольку заменяется не переменная, а алгебраическое выражение. Правильнее называть этот метод методом введения новой переменной. При решении систем неравенств с одной переменной новая переменная может вводиться как в пределах всей системы, так и в пределах одного из неравенств системы.
Обратим внимание на следующее. Большинство показательных неравенств сводится с помощью введения новой переменной к квадратному неравенству, множеством решений которого является, как правило, либо числовой промежуток, заключённый между корнями соответствующего квадратного трёхчлена (в этом случае при обратной замене получаем систему двух простейших показательных неравенств), либо объединение числовых промежутков, один из которых расположен левее меньшего корня, другой — правее большего корня соответствующего квадратного трёхчлена (в этом случае при обратной замене получаем совокупность двух простейших показательных неравенств). Вместо перехода к системе или совокупности двух показательных неравенств можно сначала разложить левую часть квадратного неравенства на множители, затем выполнить обратную замену, а после этого воспользоваться методом знакотождественных множителей и получить рациональное неравенство. Какой из двух возможных путей использовать — не принципиально, важно получить в итоге правильный ответ.
Неравносильные преобразования уравнений и неравенств с одной переменной связаны в основном с сужением или расширением ОДЗ уравнения или неравенства. В случае сужения ОДЗ может произойти потеря решений (корней), в случае расширения ОДЗ — приобретение посторонних решений (корней). Поэтому при каждом преобразовании нужно внимательно следить за ОДЗ, не допуская сужения или расширения последней и руководствуясь следующими правилами.
Перенос числа или одночлена из одной части уравнения или неравенства в другую с изменением знака (плюс или минус) перед этим числом или одночленом на противоположный — равносильное преобразование.
Приведение подобных слагаемых, не ведущее к изменению ОДЗ, — равносильное преобразование.
Умножение обеих частей неравенства на положительное число, а обеих частей уравнения на любое отличное от нуля число — равносильное преобразование.
Умножение обеих частей неравенства на отрицательное число с изменением знака неравенства на противоположный — равносильное преобразование.
Возведение обеих частей уравнения или неравенства в чётную степень (в частности, в квадрат) при условии неотрицательности каждой из этих частей и допустимых значениях переменной — равносильное преобразование.
При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы
При преобразованиях, связанных с «освобождением» от корней чётной степени и логарифмов (т. е. с рационализацией иррациональных и логарифмических уравнений и неравенств), обычно происходит расширение ОДЗ, поэтому применение таких преобразований должно сопровождаться обязательным выписыванием соответствующих ограничений (условие неотрицательности алгебраического выражения под знаком корня чётной степени, условие положительности алгебраического выражения под знаком логарифма, условие положительности и неравенства единице алгебраического выражения в основании логарифма, условие неотрицательности обеих частей уравнения или неравенства при возведении их в квадрат или другую чётную степень).
Что касается алгебраических дробей, то их знаменатели лучше «не трогать», используя при решении уравнений условие равенства дроби нулю (дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла). При решении неравенств, содержащих алгебраические дроби, грубой ошибкой является «избавление» от знаменателя: ведь его знак влияет на знак всей дроби и условия отличия знаменателя от нуля в таких случаях недостаточно. При решении дробно-рациональных неравенств обычно все алгебраические выражения переносятся в одну из частей неравенства и приводятся к общему знаменателю.
К сужению ОДЗ в основном приводят преобразования, связанные с недостаточно чётко понятыми свойствами корней и логарифмов. Так, переход от корня из произведения к произведению корней может потребовать рассмотрения двух случаев, ведь подкоренное число неотрицательно, если числа a(x) и b(x) оба неотрицательны либо оба неположительны.
Шестаков С. А. ЕГЭ 2019. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2019.
Равносильные преобразования показательных неравенств обычно связаны со свойствами степени с действительным показателем, вынесением общего множителя, разложением на множители.
Для записи множества решений некоторых показательных неравенств может понадобиться (на уровне определения) понимание того, что такое логарифм. Логарифм является, в сущности, обозначением показателя степени в тех случаях, когда этот показатель невозможно указать в «явном» виде, т. е. в виде рационального числа или корня (радикала).
То, что основание логарифма по определению положительно и отлично от 1, должно быть понятно: любая степень единицы есть единица, поэтому единица исключена из возможных оснований логарифма. Возведение в дробную степень не определено для отрицательных чисел, а возведение в неположительную степень не определено для нуля, поэтому неположительные числа также исключены из возможных оснований логарифмов. Из определения логарифма следует, что и число a может быть только положительным, поскольку оно равно степени положительного числа b. Сам логарифм при этом может принимать любое действительное значение.
Метод знакотождественных множителей и метод интервалов
Метод введения новой переменной
Исследование ОДЗ неравенства
Иногда исследование ОДЗ неравенства позволяет найти множество его решений. Этот метод обычно «работает», если ОДЗ неравенства состоит из нескольких чисел или сама является множеством решений неравенства.
Применение свойств функций
Перейдём к примерам применения свойств монотонности и ограниченности функций к решению показательных неравенств.
Шестаков С. А. ЕГЭ 2019. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2019.
Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.
Паркевич Егор Вадимович. Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.
Рисберг В. Г. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 1): Учебное пособие под общей ред. И. Ю. Черниковой / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_8.pdf
Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 2): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова. – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 64 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_9.pdf
Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие. — М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. — 352 с.
Иррациональные неравенства — неравенства, содержащие переменную под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень. Решение таких неравенств требует особого подхода, учитывающего область допустимых значений (ОДЗ) и свойства иррациональных выражений.
Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примерыЧто больше: log 10 999 или log 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…Автор: Александра Пуляевская
Логарифмические уравнения: типы и примеры решенийЛогарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером . Его…Автор: Александра Пуляевская
