Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.
Равносильные преобразования показательных неравенств обычно связаны со свойствами степени с действительным показателем, вынесением общего множителя, разложением на множители.
Для записи множества решений некоторых показательных неравенств может понадобиться (на уровне определения) понимание того, что такое логарифм. Логарифм является, в сущности, обозначением показателя степени в тех случаях, когда этот показатель невозможно указать в «явном» виде, т. е. в виде рационального числа или корня (радикала).
То, что основание логарифма по определению положительно и отлично от 1, должно быть понятно: любая степень единицы есть единица, поэтому единица исключена из возможных оснований логарифма. Возведение в дробную степень не определено для отрицательных чисел, а возведение в неположительную степень не определено для нуля, поэтому неположительные числа также исключены из возможных оснований логарифмов. Из определения логарифма следует, что и число a может быть только положительным, поскольку оно равно степени положительного числа b. Сам логарифм при этом может принимать любое действительное значение.
Метод знакотождественных множителей и метод интервалов
Метод введения новой переменной
Исследование ОДЗ неравенства
Иногда исследование ОДЗ неравенства позволяет найти множество его решений. Этот метод обычно «работает», если ОДЗ неравенства состоит из нескольких чисел или сама является множеством решений неравенства.
Применение свойств функций
Перейдём к примерам применения свойств монотонности и ограниченности функций к решению показательных неравенств.
Шестаков С. А. ЕГЭ 2019. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2019.
Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.
Паркевич Егор Вадимович. Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.
Рисберг В. Г. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 1): Учебное пособие под общей ред. И. Ю. Черниковой / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_8.pdf
Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 2): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова. – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 64 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_9.pdf
Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие. — М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. — 352 с.
Показательные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина находится в показателе степени.
Основной принцип решения
Главный метод основан на свойстве монотонности показательной функции: Если a>0 и a≠1, то равенство a^m=a^nвыполняется только тогда, когда m=n.
Алгоритм:
Привести обе части уравнения к одному и тому же основанию a.
Приравнять показатели степеней.
Решить получившееся (чаще всего линейное или квадратное) уравнение.
Решение простейших показательных уравнений основано на свойствах степеней, что позволяет находить корни эффективно и точно.
Таблица частых преобразований
Примеры
Важные нюансы
Основание a: всегда a>0 и a≠1. Если в уравнении основание содержит переменную, нужен отдельный анализ (это уже выходит за рамки простейших).
Отрицательные числа: Выражение ax при a>0 всегда положительно. Если в правой части стоит ноль или отрицательное число — корней нет (если только это не особый случай с основанием, равным нулю, который обычно не рассматривается в стандартных простейших). Пример: 2^x=−4 — корней нет.
Нулевая степень: Помните, что любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1.
Более сложные простейшие
Дополнительные ресурсы
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdfОткрыть
