Тег #производная сбросить

Дополнительно

Проверь себя

Дополнительно

• Производная. Первообразная.(Методические указания)
• Производные и первообразные. Готовимся к ЕГЭ
• Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции
• Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Производная и первообразная. Исследование функций. Задача 12 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО,2018.

Производная функции — мощный инструмент математического анализа, который позволяет исследовать поведение функций, находить экстремумы, интервалы монотонности и точки перегиба. Рассмотрим основные этапы анализа функции с помощью производной.

1. Нахождение производной

Первым шагом является вычисление производной функции f(x).

2. Критические точки

Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует.

3. Исследование монотонности

Определяем знак производной на интервалах между критическими точками:

• Если f′(x)>0  — функция возрастает.

• Если f′(x)<0  — функция убывает.

4. Экстремумы функции

Используем критические точки и изменение знака производной:

• Максимум:  Если производная меняется с "+" на "-".

• Минимум:  Если производная меняется с "-" на "+".

5. Выпуклость и точки перегиба

Для исследования выпуклости находим вторую производную: f′′(x)=(f′(x))′=6x−6

Точки перегиба — где вторая производная равна нулю или не существует:

6. График функции

На основе проведённого анализа можно построить график функции f(x)=x3−3x2+4f(x)=x3−3x2+4:

• Возрастает  на (−∞,0) и (2,+∞).

• Убывает  на (0,2).

• Максимум  в точке (0,4),  минимум  в (2,0).

• Точка перегиба  в (1,2).

Дополнительно

• Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции
• Элементарное исследование функции

• МАТЕМАТИКА. Элементарные функции и их графики: Учебное пособие / Под ред. А.И. Сурыгина. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. 115 с.: https://elib.spbstu.ru/dl/1724.pdf/download/1724.pdf

• Элементарные функции и их графики: учеб. Пособие / И.Э. Гриншпон, Я.С. Гриншпон. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники, 2017. – 98 с.: https://math.tusur.ru/book/grinshpon.pdf

От простого к сложному: линейная подстановка → произведение → композиции

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику в этой точке.

Если на графике дана касательная, вам не нужно знать саму функцию. Всю необходимую информацию можно взять с графика касательной.

Пошаговый алгоритм решения:

1. Найдите точку касания.
Обычно на графике прямо точкой отмечено, где функция и касательная соприкасаются. Запомните её координату x₀ (она нам понадобится, только если в задании спрашивают значение производной в конкретной точке, а не просто f'(x₀)).

2. Определите две ЛЮБЫЕ удобные точки на прямой (касательной).
Чем целее координаты, тем лучше. Ищите точки, которые явно лежат на линии сетки.

3. Найдите угловой коэффициент касательной (k).
Угловой коэффициент прямой (коэффициент k в уравнении y = kx + b) находится по формуле:
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
где A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) — две выбранные точки на прямой.

4. Запишите ответ.
f'(x₀) = k

Пример (разбор на основе типичного графика):

Допустим, дан график, и к нему в точке с абсциссой x₀ проведена касательная. Нам нужно найти f'(x₀).

Шаг 1: Точка касания — x₀

Шаг 2: Ищем удобные точки на касательной. Например:

• Точка A  имеет координаты (-2; -1)

• Точка B  имеет координаты (6; -3)

Шаг 3: Считаем угловой коэффициент k:
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-3 - (-1)) / (6 - (-2)) = (-3 + 1) / (6 + 2) = -2 / 8 = -0,25

Шаг 4: Записываем ответ:
f'(x₀) = -0,25

Важные нюансы и частые ошибки:

1. Берите точки именно с касательной, а не с графика функции!

    Это самая распространенная ошибка. Касательная — это прямая линия, которая лишь в одной точке совпадает с функцией. Для расчета производной нам важна только она.

2. Внимательно считайте знаки.

    Если прямая убывает (идет сверху вниз слева направо), угловой коэффициент будет отрицательным.

   • Пример:  Точки C(0; 4)  и  D(4; 0) . Тогда  k = (0 - 4) / (4 - 0) = (-4)/4 = -1.

3. Масштаб осей.

    Убедитесь, что деления на осях X  и Y  равны. В большинстве задач ЕГЭ это так. Но если, например, по оси X  одно деление равно 1, а по оси  Y  равно 2, это нужно учитывать при чтении координат. (В современных задачах ЕГЭ это редкость, но стоит проверить).

4. Касательная горизонтальна?

    Если касательная параллельна оси X, то её угловой коэффициент  k = 0, и следовательно, f'(x₀) = 0.

Краткая памятка:

• Касательная → k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

• f'(x) = 0 → в точках макс. и мин. (где график "разворачивается").

• f'(x) > 0 → функция растет (∕).

• f'(x) < 0 → функция убывает (\).

• Чем круче график, тем больше |f'(x)|.

Решение

Шаг 1: Точка касания — x₀

Шаг 2: Ищем удобные точки на касательной. Например:

• Точка A имеет координаты (-6; 2)

• Точка B имеет координаты (2; 4)

Шаг 3: Считаем угловой коэффициент k:
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (4 - 2) / (2 - (-6)) = 2 / 8 = 0,25

Шаг 4: Записываем ответ:
f'(x₀) = 0,25

Варианты заданий:

• https://math-ege.sdamgia.ru/test?likes=27506

• https://3.shkolkovo.online/catalog/145

Дополнительно

Дополнительно

Справочники. Типовые задания

1. geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf
2. proizvodnye-i-funkczii.pdf
3. zadanie-8-pro.pdf
4. proizvodnye.pdf
5. zadacha-8-proizvodnaya-i-pervoobraznaya.pdf
6. zadacha-12-proizvodnye.pdf
7. 1474520089_1892-ege-2016.-matematika.-proizv.-i-pervoobr.-issl.-funkciy.-rab.-tetrad_2016-112s.pdf

Дополнительно

Справочники. Типовые задания

• geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf
• proizvodnye-i-funkczii.pdf
• zadanie-8-pro.pdf
• proizvodnye.pdf
• zadacha-8-proizvodnaya-i-pervoobraznaya.pdf
• zadacha-12-proizvodnye.pdf

Изучайте математические формулы с помощью интерактивных карточек. Выберите тему и количество карточек.

Как отвечать:

1. Смотрите на лицевую сторону — читаете вопрос (например, "Площадь треугольника")

2. Вспоминаете формулу

3. Кликаете на карточку — она переворачивается и показывает правильный ответ

Дополнительные удобства:

• В шпаргалке снизу тоже есть названия формул

• Можно кликнуть на формулу в шпаргалке — она найдёт и покажет соответствующую карточку

• Поиск работает по названиям (пишите "пифагора" или "объём")

Интерактивный тренажер, показывающий взаимосвязь квадратичной функции и её производной. Изменяйте параметры параболы и наблюдайте, как меняется график производной.

Механический (или кинематический) смысл производной заключается в следующем:

Производная от пути по времени равна мгновенной скорости материальной точки в данный момент времени.

Дополнительно

Справочники. Типовые задания

1. geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf
2. proizvodnye-i-funkczii.pdf
3. zadanie-8-pro.pdf
4. proizvodnye.pdf
5. zadacha-8-proizvodnaya-i-pervoobraznaya.pdf
6. zadacha-12-proizvodnye.pdf
7. 1474520089_1892-ege-2016.-matematika.-proizv.-i-pervoobr.-issl.-funkciy.-rab.-tetrad_2016-112s.pdf