Анализ графиков функции и её производной

Основная идея

• Функция f(x)  показывает значение величины в точке.

• Производная f'(x) х показывает скорость изменения этой величины. Геометрически — это 

  угловой коэффициент (тангенс угла наклона)  касательной к графику  f(x)  в точке x.

Как по графику f(x) понять, где f'(x) положительна, отрицательна или равна нулю?

Смотрим на наклон касательной к графику f(x):

1. f'(x) > 0 (Производная положительна):

   • График f(x) возрастает  на этом промежутке (при движении слева направо он идет вверх).

   • Касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси OX.

2. f'(x) < 0 (Производная отрицательна):

   • График f(x) убывает  на этом промежутке (при движении слева направо он идет вниз).

   • Касательная к графику образует тупой угол с положительным направлением оси OX.

3. f'(x) = 0 (Производная равна нулю):

   • Это точки экстремума  (максимума или минимума) или точки перегиба  (редко, но бывает).

   • Касательная к графику в этой точке горизонтальна.

   • Чаще всего это вершины "горок" (максимумы) и впадины "ложек" (минимумы).

Как по графику f'(x) понять, что происходит с функцией f(x)?

Это обратная задача, но она решается по тем же принципам.

1. Где график f'(x) лежит ВЫШЕ оси OX (f'(x) > 0):

   • Функция f(x) возрастает.

2. Где график f'(x) лежит НИЖЕ оси OX (f'(x) < 0):

   • Функция f(x) убывает.

3. Где график f'(x) ПЕРЕСЕКАЕТ ось OX (f'(x) = 0):

   • У функции f(x) в этой точке возможен экстремум (максимум или минимум). Это "критическая точка".

Связь экстремумов f(x) с графиком f'(x)

Это самое важное практическое применение.

• Точка максимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с "+" на "-"  при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX сверху вниз.

• Точка минимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с "-" на "+"  при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX снизу вверх.

Важно: Если f'(x) не меняет знак при переходе через точку, где f'(x)=0 (например, f'(x) = x³ в точке 0), то это точка перегиба, а не экстремум.

Как по графику f'(x) понять, где f(x) выпукла вверх или вниз?

Выпуклость функции f(x) определяется знаком второй производной f''(x). А вторая производная — это производная от первой, то есть скорость изменения самой производной f'(x).

• f(x) выпукла вниз (как чашка ∪):

  • Это означает, что f''(x) > 0.

  • На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная возрастает  (график f'(x)  идет вверх).

• f(x) выпукла вверх (как крыша ∩):

  • Это означает, что f''(x) < 0.

  • На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная убывает (график f'(x)

     идет вниз).

• Точка перегиба f(x):

  • Это точка, где меняется выпуклость.

  • На графике f'(x) этой точке соответствует экстремум (максимум или минимум), так как именно в ней производная f'(x) меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.

Примеры для закрепления

Посмотрите на график ниже.

Пример 1

Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).

Что мы видим на графике f'(x)?

Что это означает для функции f(x)?

f'(x) > 0 (выше оси OX) - f(x) возрастает

f'(x) < 0 (ниже оси OX) - f(x) убывает

Если производная положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает.
Среди указанных точек производная положительна в точках x₄, x₅, x₆. Таких точек всего три.

Пример 2

Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).

Что мы видим на графике f'(x)?

Что это означает для функции f(x)?

f'(x) = 0 (пересекает OX) - Критическая точка (возможен экстремум или перегиб)

f'(x) меняет знак с + на - - Локальный максимум f(x)

f'(x) меняет знак с - на + - Локальный минимум f(x)

На отрезке [−18; 1] производная обнуляется пять раз: в точках x₁ = −16, x₂ = −13, x₃ = −9, x₄ = −3, x₅ = −1.
В точке x₁ = −16 производная поменяла знак с «–» на «+».
В точке x₂ = −13 производная поменяла знак с «+» на «–».
В точке x₃ = −9 производная поменяла знак с «–» на «+».
В точке x₄ = −3 производная поменяла знак с «+» на «–».
В точке x₅ = −1 производная поменяла знак с «–» на «+».
Значит, x₁ = −16, x₃ = −9, x₅ = −1 — точки минимума на отрезке [−18; 1].
Таким образом, функция f(x) имеет 3 точки минимума, принадлежащих отрезку [−18; 1].

Пример 3

Производная в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

• Если касательная идёт вверх, производная положительна.

• Если касательная идёт вниз, производная отрицательна.

• Чем круче наклон (вверх или вниз), тем больше по модулю производная.

Нам нужно найти точку с наибольшим значением производной:

На промежутках возрастания функции производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна, следовательно, нужно сравнить значение производной в точках на промежутках возрастания — в точках x = −4 и x = 5.

Значение производной в x = x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке x₀, следовательно, среди положительных значений оно больше в той точке, где угол наклона касательной больше. Если провести касательные к данному графику в точках x = −4 и x = 5, то угол наклона касательной в точке x = 5 будет больше, следовательно, и значение производной в этой точке будет больше.

Дополнительно

^{https://blog.zabedu.ru/matem/wp-content/uploads/sites/10/2014/01/пособие-по-В8.pdf}

^{Производные и первообразные}