Запись чисел для диаметрально противоположных точек на единичной окружности
Обычно положение точки на единичной окружности задается углом α, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси Ox (оси абсцисс).
Углы измеряются в радианах или градусах.
Положительное направление — против часовой стрелки .
Точке, полученной поворотом на угол α, ставят в соответствие это число α.
Однако, поскольку окружность замкнута, одной и той же точке соответствует бесконечное множество чисел (углов), отличающихся друг от друга на полный оборот (2π радиан или 360).
Диаметрально противоположные точки — это две точки на окружности, которые соединены отрезком, проходящим через центр окружности (то есть лежат на одном диаметре). Расстояние между ними по дуге составляет ровно половину окружности.
Если одна точка задана углом α, то диаметрально противоположная ей точка будет задаваться углом α+π (или α+180), так как π радиан — это половина окружности.
Папирус Ахмеса — это, по сути, практическое руководство по арифметике и геометрии, созданное для писцов и мастеров. Его оригинал восходит к эпохе Среднего царства (примерно 1985–1795 гг. до н. э.), но до нас он дошёл в копии, сделанной около 1550 г. до н. э. писцом Ахмесом. В надписи на папирусе он скромно сообщает, что переписывает «совершенное и основательное исследование всех вещей, понимание их сущности, познание их тайн» — то есть не изобретает, а передаёт традицию.
Сегодня основная часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а отдельные фрагменты — в Нью-Йорке. В нём содержится 84 задачи с решениями, и все они носят прикладной характер: от расчёта зерна до разметки полей.
Как египтяне считали дроби
Одна из самых ярких особенностей папируса — работа с дробями. Египтяне почти не использовали дроби вида 2/3, 3/4 и т. п. Вместо этого они стремились представить любую дробь как сумму аликвотных дробей — тех, у которых числитель равен 1. Например, вместо 3/4 писали 1/2 + 1/4.
В начале папируса есть специальная таблица разложения дробей вида 2/n на такие суммы. Это был своего рода «шпаргалка», без которой дальнейшие вычисления были бы крайне неудобны. Именно эта таблица занимает около трети всего свитка — настолько важной была работа с дробями для древних писцов.
Геометрия и приближение числа π
Египтяне умели вычислять площади и объёмы. Для прямоугольника, треугольника и трапеции у них были понятные методы. А вот с кругом всё интереснее: площадь круга они приравнивали к площади квадрата, сторона которого равна 8/9 диаметра круга.
Математически это выглядит так:
S круга ≈ (8/9·d)² = 64/81·d².
Поскольку площадь круга также равна πr² = π(d/2)² = π/4·d², то из египетского метода следует:
π/4 ≈ 64/81, откуда π ≈ 256/81 ≈ 3,16.
Это довольно хорошее приближение для своего времени — погрешность составляет менее 1%.
Также в папирусе встречаются задачи на нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра — всё это было нужно для расчёта запасов зерна, строительства и распределения ресурсов.
Уравнения и метод ложного положения
Неизвестное в задачах обозначалось иероглифом «хау» («куча»). Египтяне решали линейные уравнения с одним неизвестным с помощью метода ложного положения: брали произвольное значение, считали результат, а затем корректировали его пропорционально. Это не абстрактная алгебра, а очень практичный вычислительный приём, который позже встречался и в других культурах.
Прогрессии и головоломки
В задаче №79 встречается знаменитая задача о семи домах, семи кошках, семи мышах и т. д. — она сводится к суммированию геометрической прогрессии: 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607. Это показывает, что египтяне не только решали практические задачи, но и имели интерес к занимательной математике.
🏛️ Московский папирус (Голенищева): более древний и удивительно точный
Московский математический папирус старше папируса Ахмеса примерно на 300 лет — его датируют около 1850 г. до н. э. Своё второе название — папирус Голенищева — он получил по имени русского востоковеда Владимира Семёновича Голенищева, который приобрёл его в 1893 году в Фивах и передал в коллекцию для России. Однако основная заслуга в его систематизации, расшифровке и введении в научный оборот принадлежит другим выдающимся российским учёным — в первую очередь Б. А. Тураеву и В. В. Струве. Именно Струве в 1930 году систематизировал папирус, разбив его на задачи и добавив к каждой своё решение.
Сейчас папирус хранится в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве. В постоянной экспозиции ГМИИ представлены фрагменты папируса, в том числе связанные с геометрическими задачами; задача №14 — одна из самых известных и часто упоминается в описаниях рукописи. Основная часть рукописи находится в фондах и по-прежнему изучается исследователями.
В папирусе содержится всего 25 задач, но некоторые из них поражают своей сложностью и точностью.
Объём усечённой пирамиды: редкая формула
Задача №14 Московского папируса посвящена вычислению объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Египтяне использовали формулу, которая в современных обозначениях выглядит так:
V = h/3 · (a² + ab + b²),
где a и b — стороны оснований, а h — высота.
Это удивительно точное и нетривиальное достижение: формула верна, и её вывод требует немалой геометрической интуиции. До сих пор неясно, как египтяне её получили, но сам факт её использования говорит о высоком уровне их математических представлений. Эта формула встречается в античных источниках значительно позже; близкие вычислительные приёмы можно найти, например, в трудах Герона Александрийского (I век н. э.), что подчёркивает редкость и ценность египетского результата.
Некоторые исследователи предполагают, что египтяне могли вывести эту формулу эмпирическим путём — через измерение реальных пирамид и зернохранилищ, однако письменных свидетельств о способе её получения не сохранилось.
В Московском папирусе также есть задачи на вычисление площади треугольника, объёма призмы, а также несколько «арифметических» задач, в том числе на нахождение неизвестного числа — аналог задач «хау» из папируса Ринда.
Основные типы задач
Арифметические задачи
№ задач
Подтип
Пример формулировки
Метод решения
Контекст применения
1-6
Деление 1-9
1: "Раздели 1 хлеб на 10 частей для 10 мужчин."
1/10 хлеба на человека
Простейший пример обучения дробям.
7-20
Умножение дробей
19: "Умножь 1/12 на (1+1/3+2/3)"
Упрощение сложного множителя через сложение дробей.
Расчёт количества зерна для выпечки хлеба
21-23
Задачи на дополнение (нахождение недостающей части
21: "2/3 + 1/15 дополни до 1"
Использование аликвотных дробей: 4/15=1/5+1/15
Расчет недостающего зерна при распределении
30-40, 64
Деление на дробные выражения; хеката; хлебов
39: "Разница в долях при распределении 100 хлебов между 10 мужчинами"
Комментариев пока нет — может, вы будете первым?